Kenngrößen und Darstellungen

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Statistische

Kenngrößen und Darstellungen

für die

5. bis 8. Schulstufe

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Statistische Kenngrößen und Darstellungen für die 5. – 8. Schulstufe

Vorwort

Bildungsstandards sind ein Teilsystem der Steuerung von Bildungsprozessen, die in Österreich in letzter Zeit in der Bildungspolitik an Bedeutung gewonnen haben.

Anlässlich verschiedener Bildungsstudien, z.B. PISA-Studie, die gezeigt haben, dass das allgemeinbildende Bildungssystem international eine eher mittelmäßige Stellung einnimmt, wurden seitens des Unterrichtsministeriums bundesweit einheitliche Bildungsstandards entwickelt und verbindlich gemacht.

Das Erreichen von Standards kann in verschiedenen Formen, mit verschiedenen Instrumenten und zu verschiedenen Zwecken erhoben werden. Sie dienen zur Sicherung und Weiterentwicklung der Qualität des Unterrichts und der Schule. Die vorliegenden Standards beschreiben die einzelnen Kompetenzen, die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln sollen. Sie sollen ihnen nachhaltig über die Schule hinaus zur Verfügung stehen.

Dieser Mathematikband (Statistische Kenngrößen und Darstellungen - I4) soll den LehrerInnen der 5. bis 8. Schulstufe als Hilfestellung dienen.

Überprüfungsblätter im Anhang dienen einerseits LehrerInnen und Eltern zur Kontrolle, andererseits können SchülerInnen überprüfen und so feststellen, wo sie Defizite haben.

Mein besonderer Dank gilt dem Verleger Erwin Schwarzinger, der es mir ermöglichte, über den „Waldviertler Lehrmittelverlag“ die Arbeitsbände zu veröffentlichen.

Impressum:

Titel: Statistische Kenngrößen und Darstellungen für die 5. bis 8. Schulstufe

Autor und Lektorat: Roman Wielander, Hauptstraße 420, A-3034 Maria Anzbach, Tel. +43 (0) 650/8412945; e-mail: r.wiel[email protected], Produktion: Waldviertler Lehrmittelverlag, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20, www.lernen.at; Grafiken: Roman Wielander; Satz und Layout: Roman Wielander; Verlag: Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20, Tel.+ Fax +43/(0)2735/2598, e-mail: [email protected], www.lernen.at; Urheber- und Leistungsschutzrechte: Roman Wielander © September 2014 bei Waldviertler Lehrmittelverlag, E.

Schwarzinger; ISBN 978-3-902556-98-1; 2. Auflage 2018, Die Verwertung der Texte und Bilder, auch auszugsweise, ist ohne Zustimmung des Verlages urheberrechtswidrig und strafbar. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und für die Verarbeitung mit elektronischen Systemen. Die Vervielfältigung der Arbeitsblätter ist nur für den Schulgebrauch an e i n e r Schule gestattet. Jede weitere Verwendung sowie Vervielfältigung, insbesondere durch Printmedien und audiovisuelle Medien, sind auf Grund des Urheberrechtes verboten und bedürfen der ausdrücklichen Zustimmung des Autors und des Verlages. Alle Rechte vorbehalten. Für Veröffentlichung: Quellenangabe.

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Inhaltsverzeichnis

Statistische Kenngrößen und Darstellungen 5. bis 8. Schulstufe

Thema Seite

Vorwort 2

Inhaltsverzeichnis 3-4

Einleitung – Standards Mathematik – Allgemein 5-8

Erläuterung mathematischer Kompetenzen 9

Lehrstoff – St. Kenngrößen und Darstellungen 5. bis 8. Schulstufe 10-11 Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

(5. Schulstufe) ¹²

ÜB 1 – Haus des Meeres 13-17

ÜB 2 – Bevölkerungszahlen 18-22

ÜB 3 – Gebirge 23-27

ÜB 4 – Schularbeit 28-30

ÜB 5 – Benzinverbrauch 31-35

ÜB 6 – Schulschikurs 36-41

ÜB 7 – Nächtigungen 42-46

ÜB 8 – Die Wahl 47-49

ÜB 9 – Leichtathletik 50-54

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

(6. Schulstufe) ⁵⁵

ÜB 1 – Körpergewicht 56-61

ÜB 2 – Halbmarathon 62-68

ÜB 3 – Bücherei 69-73

ÜB 4 – Test 74-76

ÜB 5 – Gehweg 77-79

ÜB 6 – Aus dem Leben 80-82

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ÜB 9 – Müllentsorgung 91-95 Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

(7. Schulstufe) ⁹⁶

ÜB 1 – Trinkgewohnheiten 97-101

ÜB 2 – Lotto 102-106

ÜB 3 – Olympische Spiele 107-111

ÜB 4 – Testergebnisse 112-116

ÜB 5 – Müllsammlung 117-122

ÜB 6 – Punktewertung 123-127

ÜB 7 – Benzinverbrauch 128-134

ÜB 8 – Der Winter 135-141

ÜB 9 – Niederschlag 142-150

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

(8. Schulstufe) ¹⁵¹

ÜB 1 – Abfüllanlage 152-153

ÜB 2 – Fremdenverkehr 154-156

ÜB 3 – Texte richtig verstehen und umsetzen 157-161

ÜB 4 – FinanzberaterIn 162-164

ÜB 5 – Frühling in Europa 165-168

ÜB 6 – Pausengetränke 169-177

ÜB 7 – Schularbeitsnoten 178-180

ÜB 8 – Gehälter 181-183

ÜB 9 - Politik 184-186

ÜB 10 - Jahreseinkommen 187-189

ÜB 11 - Sprintbewerb 190-192

ÜB 12 – Stromverbrauch 193-195

ÜB 13 - Stundenlöhne 196-200

Anhang: Überprüfungsblätter 201-203

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Standards Mathematik – Allgemein 1

Einleitung

Die mathematischen Kompetenzen

Sie beschreiben jene Bereiche (drei an der Zahl), die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln und längerfristig verfügbar haben sollten.

1. Handlungsbereiche

Für die mathematischen Standards wurden die folgenden vier Tätigkeitsbereiche erarbeitet und festgehalten:

H1

Darstellen,

Modellbilden Darstellen bedeutet, dass Sachverhalte mathematisch anders repräsentiert werden sollen.

Das Modellbilden erfordert zusätzlich, mathematische

Beziehungen zu erkennen und diese dann darzustellen. Hier sollen Annahmen getroffen oder Vereinfachungen

vorgenommen werden.

Beispiele:

einen gegebenen Sachverhalt in eine andere

Darstellungsform übertragen (tabellarisch, grafisch,…)

Zeichnungen einfacher geometrischer Figuren anfertigen (mit Lineal oder als Freihandskizze)

mathematische Zusammenhänge bestätigen und darstellen

geeignete mathematische Mittel (Begriffe, Modelle, Darstellungsformen) und Lösungswege auswählen

aus bekannten Modellen neue Modelle entwickeln (modulare Arbeiten)

alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache der Mathematik übersetzen

H2

^Rechnen,_Operieren Rechnen meint einerseits die Durchführung von Rechen- operationen mit konkreten Zahlen, andererseits die Umformung symbolisch dargestellter Sachverhalte.

Unter dem Begriff „Operieren“ versteht man die Planung sowie die korrekte und sinnvolle Durchführung von Rechen- oder Konstruktionsabläufen. Dazu gehören auch

geometrische Konstruktionen und das Arbeiten mit Tabellen und Grafiken.

Beispiele:

elementare Rechenoperationen durchführen,

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H2

^Rechnen,_Operieren Beispiele:

Gleichungen und Ungleichungen lösen

Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden, Näherungswerte bestimmen

mit und in Tabellen oder Grafiken rechnen

geometrische Konstruktionen durchführen

H3

Interpretieren Aus mathematischen Darstellungen sollen Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte erkannt und

dargestellt werden. Weiters sollen die Beziehungen und Sachverhalte gedeutet werden können.

Beispiele:

aus Tabellen und Grafiken Werte ablesen und deuten

tabellarisch, grafisch oder symbolische Zusammenhänge beschreiben und deuten

Zusammenhänge und Strukturen in Termen und Formeln erkennen und deuten

Rechenergebnisse in Kontexten deuten

tabellarische, grafische oder auch symbolische Rechendarstellungen angemessen deuten

H4

Argumentieren,

Begründen Beim Argumentieren werden mathematische Aspekte auf eine bestimmte Sichtweise, die für oder gegen etwas sprechen, untersucht. Dies erfordert eine genaue Verwendung von Regeln und Eigenschaften.

Das Begründen verlangt bestimmte Schlussfolgerungen und Entscheidungen bei mathematischen Beispielen.

Beispiele:

Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs oder eines Lösungsweges sprechen

Vermutungen formulieren und begründen

Zusammenhänge (Formeln, Sätze) herleiten oder beweisen

richtige oder falsche mathematische

Argumentationen bzw. Begründungen erkennen

begründen, warum eine Argumentation oder Begründung zutreffend bzw. unzutreffend ist

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2. Inhaltsbereiche

Sie wurden unter der Berücksichtigung des derzeitigen Lehrplanes ausgewählt und zu folgenden vier Bereichen zusammengefasst:

I1

Zahlen und

Maße Verschiedene Zahlen und Maße sollen praxisnahe Anwendung finden.

Lehrstoff:

¾ natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen

¾ Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Potenzschreibweise, Wurzeln

¾ Rechenoperationen, Rechengesetze und –regeln

¾ Anteile, Prozente, Zinsen

¾ Maßeinheiten – für Längen, Flächen, Volumina, Massen, Zeiten und zusammengesetzte Größen

I2

^Variable,funktionale Abhängigkeiten

Variable, Terme und (Un-)Gleichungen, funktionale

Abhängigkeiten sollen unterschiedlich dargestellt werden.

Lehrstoff:

¾ Variable und Terme

¾ einfache Gleichungen (auch Formeln) und Ungleichungen

¾ lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

¾ tabellarische, grafische und symbolische Darstellung funktionaler Zusammenhänge

¾ lineare Funktionen

¾ direkte und indirekte Proportionalität

I3

Geometrische Figuren und Körper

Das Erlernen grundlegender geometrischer Begriffe, einfacher Figuren und Körper und deren Eigenschaften und Darstellung (Zeichnung, Konstruktion) steht im Vordergrund.

Lehrstoff:

¾ Punkt, Gerade, Ebene, Strecke, Winkel, Parallele, Normale

¾ Symmetrie, Ähnlichkeit

¾ Dreiecke, Vierecke, Kreis

¾ Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel

¾ Satz des Pythagoras

¾ Umfangs-, Flächen-, Oberflächen- und Volumsformeln

I4

Statistische

Darstellungen Statistische Daten sollen tabellarisch und grafisch dargestellt werden können.

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I4

Statistische Darstellungen und

Kenngrößen

Lehrstoff:

¾ Stab-, Kreis-, Streifen-, Linien-, Streudiagramm, Piktogramm

¾ absolute und relative Häufigkeiten

¾ arithmetisches Mittel, Median, Quartile

¾ Spannweite, Interquartilabstand

3. Komplexitätsbereiche

Mathematische Problemstellungen können einerseits lediglich die direkte Anwendung eines Begriffes erfordern (leicht), andererseits eine Kombination und Vernetzung mehrerer mathematischer Begriffe verlangen (schwierig). Die Anforderungen der Rechnungen umfassen drei Bereiche:

K1

Einsetzen von Grundkenntnissen u. –fertigkeiten (= GERINGE KOMPLEXITÄT)

Darunter versteht man die Wiedergabe oder direkte Anwendung von grundlegenden mathematischen Begriffen, Sätzen, Verfahren und Darstellungen.

Mathematisches Wissen und Können ist direkt aus dem Text erkenn- und anwendbar. Aus diesem Grund erfordern die mathematischen Fertigkeiten bzw.

Kenntnisse eine geringe Komplexität.

K2

Herstellen von Verbindungen (= MITTLERE KOMPLEXITÄT)

Wenn mathematische Sachverhalte und deren Problemlösungen komplexer sind, müssen Verbindungen (Begriffe, Sätze, Verfahren, Darstellungsformen) aus verschiedenen

mathematischen Gebieten hergestellt werden.

K3

Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren

(= HÖHERE KOMPLEXITÄT)

Hier ist das Nachdenken über Zusammenhänge erforderlich, die nicht unmittelbar aus dem

dargelegten mathematischen Sachverhalt ablesbar sind.

Dazu gehören z.B. Lösungswege und Alternativen, Vor- und Nachteile von Darstellungsformen, Grenzen von Modellen, Nachdenken über Interpretationen und Begründungen.

All diese Beispiele sollen durch Dokumentationen von Lösungswegen sichtbar gemacht werden.

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Komplexität

mathematischer Inhalt

mathematische Handlung

Kompetenz (H2, I1, K3)

Erläuterung mathematischer Kompetenzen

Mathematische Kompetenzen

(Modelldarstellung)

Sie beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten (= Handlungen), auf mathematische Inhalte und auf die Art der Komplexität (Grad der Vernetzung zu anderen Bereichen)

Beispiel: Eine Kompetenz ist die Fähigkeit zur Erklärung (Handlungsbereich = H) von mathematischen Darstellungen des Sachverhaltes (Inhaltsbereich = I), wobei mehrere Fakten und Zusammenhänge in Verbindung gebracht werden müssen (Komplexitätsbereich = K)

Handlungsbereich – H Inhaltsbereich – I

Komplexitätsbereich – K

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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 1

Lehrstoff

5. Schulstufe (= 1. Klasse)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Die Schüler sollen …

- direkte Proportionalitäten erkennen (z.B. Warenmenge – Geld, Zeit – Weg).

- entsprechende Fragestellungen finden und Berechnungen durchführen können.

- Modelle mit realen Gegebenheiten vergleichen.

- grundlegende Überlegungen zur Sinnhaftigkeit von Modellen für die Praxis anstellen.

- Tabellen und graphische Darstellungen zum Erfassen von Datenmengen verwenden können.

Lehrstoff

6. Schulstufe (= 2. Klasse)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

Die Schüler sollen …

- charakteristische Kennzeichen von indirekten und direkten Proportionalitäten an Beispielen angeben können.

- einfache Fragestellungen dazu formulieren, sie graphisch darstellen und lösen können.

- relative Häufigkeiten ermitteln können.

- entsprechende graphische Darstellungen lesen, anfertigen und kritisch betrachten können.

- Manipulationsmöglichkeiten erkennen.

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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 2

Lehrstoff

7. Schulstufe (= 3. Klasse)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Die Schüler sollen …

- lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse mit verschiedenen Annahmen unter Zuhilfenahme von elektronischen Rechenhilfsmitteln untersuchen können (z.B. Zinssätze).

- funktionale Abhängigkeiten erkennen und formelmäßig und graphisch darstellen.

- Datenmengen untersuchen und darstellen.

Lehrstoff

8. Schulstufe (= 4. Klasse)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Die Schüler sollen …

- Wachstums- und Abnahmeprozesse mit verschiedenen Annahmen unter Zuhilfenahme von elektronischen Rechenhilfsmitteln untersuchen können.

- funktionale Abhängigkeiten untersuchen und darstellen.

- Datenmengen unter Verwendung statistischer Kennzahlen (z.B. Mittelwert, Median, Quartil, relative Häufigkeit, Streudiagramm) untersuchen und

darstellen.

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Arbeitsaufgaben zum

Kompetenzbereich

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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Übungsbeispiel 1

Titel: Haus des Meeres

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Aufgabenstellung 1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen I4

2. Darstellen und Modellbilden, Operieren und Rechnen,

Interpretieren und Dokumentieren H1/H2/H3 3. Grundkenntnisse und -

fertigkeiten

Herstellen von Verbindungen, Einsetzen von Reflexionswissen

K1/K2/K3

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Aufgabe 3:

35 Minuten 5 Minuten 5 Minuten 25 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

mittel

Aufgabe 2:

niedriger Aufgabe 3:

höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Zirkel, Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)

Besondere

Bemerkungen: Begabte SchülerInnen können das Beispiel mithilfe des Computers lösen.

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(14)

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Eintrittskarten – AB 1

Aufgabenstellung:

Im „Haus des Meeres“ wurden in einer Woche folgende Anzahl an Eintrittskarten verkauft:

MO DI MI DO FR SA SO

1 243 1 075 1 412 1 379 1 618 2 107 2 366

1) Berechne, wie viele Besucher durchschnittlich pro Tag kommen!

2) Wie hoch ist die Abweichung der Einzelwerte von diesem Mittelwert?

MO DI MI DO FR SA SO

1 243 1 075 1 412 1 379 1 618 2 107 2 366

3) Zeichne ein Streckenschaubild (= Stabdiagramm) und trage darin den Mittelwert ein! Runde zuerst auf Zehner!

(100 Besucher 5 mm)

MO DI MI DO FR SA SO

1 243 1 075 1 412 1 379 1 618 2 107 2 366

Runden Grafische D.

Zu beachten beim Diagramm:

Stabdiagramm: x-Achse – Wochentage; y-Achse – Besucher

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(15)

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Eintrittskarten – AB 2

3) Zeichne ein Streckenschaubild (= Stabdiagramm) und trage darin den Mittelwert ein! Runde zuerst auf Zehner!

(100 Besucher 5 mm)

Stabdiagramm

x-Achse - Wochentage y-Achse – Besucher

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(16)

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Eintrittskarten – AB 1 – Lösung

Aufgabenstellung:

Im „Haus des Meeres“ wurden in einer Woche folgende Anzahl an Eintrittskarten verkauft:

MO DI MI DO FR SA SO

1 243 1 075 1 412 1 379 1 618 2 107 2 366

1) Berechne, wie viele Besucher durchschnittlich pro Tag kommen!

1 243 + 1 075 + 1 412 + 1 379 + 1 618 + 2 107 + 2 366 = 11 200 11 200 : 7 = 1 600

Mittelwert: 1 600

2) Wie hoch ist die Abweichung der Einzelwerte von diesem Mittelwert?

MO DI MI DO FR SA SO

1 243 1 075 1 412 1 379 1 618 2 107 2 366 - 357 - 525 - 188 - 221 18 507 766 3) Zeichne ein Streckenschaubild (= Stabdiagramm) und trage darin

den Mittelwert ein! Runde zuerst auf Zehner!

(100 Besucher 5 mm)

MO DI MI DO FR SA SO

1 243 1 075 1 412 1 379 1 618 2 107 2 366

Runden

1 240 1 080 1 410 1 380 1 620 2 110 2 370

Grafische D. 62 mm 54 mm 70,5 mm 69 mm 81 mm 105,5 mm 118,5 mm

Zu beachten beim Diagramm:

Stabdiagramm: x-Achse – Wochentage; y-Achse – Besucher

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MontagMittwochDienstagDonnerstagSamstagFreitagSonntag

2001000 800 600 400

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400 1240 1080

1410 1380

1620

2110

2370 Mittelwert Wochentage

Besucher

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Eintrittskarten – AB 2 – Lösung

Stabdiagramm

Stabdiagramm mithilfe des Computers (mögliche Lösung)

x-Achse - Wochentage y-Achse – Besucher

Haus des Meeres

1243 1075

1412 1379 1618

2107 2366

750 10001250 15001750 20002250 2500

Besucher

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(18)

Titel: Aus dem Leben

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Kenngrößen I4

fertigkeiten

K1/K2/K3

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit: 15 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe:

mittel

Besondere

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(19)

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Aus dem Leben – AB

Aufgabenstellung:

Ein Wochentag bei Max sieht folgendermaßen aus:

Sechs Stunden verbringt er in der Schule, zwei Stunden benötigt Max für seine Hausaufgaben. In der Früh braucht er eine Stunde für die Körperpflege und das gemeinsame Frühstück mit seiner Familie. Am Nachmittag sind zwei Stunden für sportliche Aktivitäten vorgesehen.

Eine Stunde ist für Lesen und Computerspiele vorgesehen, drei Stunden verbringt er mit seinen Freunden. Den Rest des Tages schläft er.

Stelle die Tätigkeiten von Max in einem Streckendiagramm grafisch dar (1 Stunde 1 cm)!

Darstellung: x-Achse – Tätigkeiten; y-Achse – Stunden

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(20)

Schule Körperpflege

Frühstück Sport Hausaufgaben

1 5 4

3 2 6 7 8 9 10

Tätigkeiten Stunden

0

Freunde Lesen

Computer Schlafen

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Aus dem Leben – AB – Lösung

Aufgabenstellung:

Ein Wochentag bei Max sieht folgendermaßen aus:

Sechs Stunden verbringt er in der Schule, zwei Stunden benötigt Max für seine Hausaufgaben. In der Früh braucht er eine Stunde für die Körperpflege und das gemeinsame Frühstück mit seiner Familie. Am Nachmittag sind zwei Stunden für sportliche Aktivitäten vorgesehen.

Eine Stunde ist für Lesen und Computerspiele vorgesehen, drei Stunden verbringt er mit seinen Freunden. Den Rest des Tages schläft er.

Stelle die Tätigkeiten von Max in einem Streckendiagramm grafisch dar (1 Stunde 1 cm)!

Darstellung: x-Achse – Tätigkeiten; y-Achse – Stunden

(mögliche Lösung)

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(21)

Titel: Temperatur

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Kenngrößen I4

fertigkeiten

K1/K2/K3

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1 und 2:

Aufgabe 3:

20 Minuten 5 Minuten 15 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

mittel

Aufgabe 2:

niedriger Aufgabe 3:

höher

Besondere

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(22)

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Temperatur – AB

Aufgabenstellung:

Eine Woche lang werden in einem Fremdenverkehrsort die Temperaturen gemessen.

Tag MO DI MI DO FR SA SO Temperatur 31,2˚ 33,5˚ 27,9˚ 29,4˚ 30,8˚ 28,2˚ 31,8˚

1) Berechne die durchschnittliche Temperatur in dieser Woche!

A.:

2) An welchen Tagen lag die Temperatur unter dem Durchschnittswert?

A.:

3) Zeichne ein Balkendiagramm, das die Temperaturen grafisch darstellt und trage den Mittelwert als waagrechte Linie ein!

(1 Grad 2 mm)! Darstellung: x-Achse – Wochentage; y-Achse – Grade

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(23)

10 Grade

15 20 30

25

Mittelwert 35

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Temperatur – AB – Lösung

Aufgabenstellung:

Eine Woche lang werden in einem Fremdenverkehrsort die Temperaturen gemessen.

Tag MO DI MI DO FR SA SO Temperatur 31,2˚ 33,5˚ 27,9˚ 29,4˚ 30,8˚ 28,2˚ 31,8˚

1) Berechne die durchschnittliche Temperatur in dieser Woche!

31,2 + 33,5 + 27,9 + 29,4 + 30,8 + 28,2 + 31,8 = 212,8˚

212,8 : 7 = 30,4˚

A.: Die durchschnittliche Temperatur beträgt 30,4˚.

2) An welchen Tagen lag die Temperatur unter dem Durchschnittswert?

A.: Mittwoch, Donnerstag und Samstag

3) Zeichne ein Balkendiagramm, das die Temperaturen grafisch darstellt und trage den Mittelwert als waagrechte Linie ein!

(1 Grad 2 mm)! Darstellung: x-Achse – Wochentage; y-Achse – Grade

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(24)

Titel: Testergebnisse

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1 Aufgabe 2 1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen I4 I4

Interpretieren und Dokumentieren H3 H1/H2/H3 3. Herstellen von Verbindungen,

Einsetzen von Reflexionswissen K3 K2/K3 Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

30 Minuten 15 Minuten 15 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

a) niedriger; b und c) höher Aufgabe 2:

höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)

Besondere Bemerkungen:

Begabte SchülerInnen können das Beispiel mithilfe des Computers lösen.

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(25)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Testergebnisse – AB 1

Aufgabe 1:

Bei dem zuletzt durchgeführten Geschichtetest sahen die Verteilungen der Punkte in der 4A- und in der 4C-Klasse wie folgt aus:

4A: 12, 24, 18, 21, 24, 22, 4, 21, 18, 23, 12, 17, 14, 21, 8, 16, 13 4C: 17, 24, 23, 18, 18, 23, 13, 19, 16, 15, 22, 21, 17, 20, 15, 18, 9 Vergleiche die Ergebnisse der beiden Klassen durch Berechnung

a) der arithmetischen Mittel, b) der Zentralwerte (Mediane), c) der Modalwerte!

Lösung zu a)

Berechnung des Mittelwertes (Summe der Einzelwerte dividiert durch die Anzahl der Einzelwerte:

x

=

n x x

x¹+ ²+...+ ⁿ

; x

₁

, x

₂

, ……x

_n

= Einzelwerte; n ….. Anzahl der Einzelwerte)

Mittelwert Klasse 4A:

x

= Mittelwert Klasse 4C:

x

=

Lösung zu b)

Du erhältst den Zentralwert (Median) einer Datenmenge, indem du die Einzelwerte zuerst der Größe nach – wie in einer Liste – anordnest. Der Zentralwert „teilt“ dann diese geordnete Liste in zwei gleich große Teile. Die Werte der „unteren Hälfte“ sind alle kleiner als der Zentralwert oder höchstens genauso groß. Die Werte der „oberen Hälfte“ sind alle größer als der Zentralwert oder wenigstens genauso groß.

4A:

_ Elemente ≤ _ Elemente ≥ ____

z = _____________

4C:

_ Elemente ≤ _ Elemente ≥ ____

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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Testergebnisse – AB 2

Lösung zu c)

Der Modalwert m ist der häufigste Wert in einer Liste von Werten.

Beachte: Eine Liste von Werten kann auch mehr als einen Modalwert haben.

4A:

Der Wert _ kommt -mal vor. m = ___________

4C:

Der Wert _ kommt -mal vor. m = ___________

Aufgabe 2:

Die Gesamtpunkteanzahl beim Geschichtetest betrug 26 Punkte. Stelle die erreichten Punkte folgender SchülerInnen der 4A-Klasse prozentuell in einem Streifendiagramm dar! (Hannah – 24 Punkte,

Peter – 21 Punkte, Fritz – 16 Punkte, Robert – 12 Punkte und Kathrin – 8 Punkte)

Überschrift: Geschichtetest – 4A; Hannah – gelb, Peter – rot, Fritz – blau, Robert – grün, Kathrin - orange

x-Achse - Namen y-Achse – Einheit Prozent

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(27)

4 8 12 12 13 14 16 17 18 18 21 21 21 22 23 24 24

9 13 15 15 16 17 17 18 18 18 19 20 21 22 23 23 24

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Testergebnisse – AB 1 – Lösung

Aufgabe 1:

Bei dem zuletzt durchgeführten Geschichtetest sahen die Verteilungen der Punkte in der 4A- und in der 4C-Klasse wie folgt aus:

4A: 12, 24, 18, 21, 24, 22, 4, 21, 18, 23, 12, 17, 14, 21, 8, 16, 13 4C: 17, 24, 23, 18, 18, 23, 13, 19, 16, 15, 22, 21, 17, 20, 15, 18, 9 Vergleiche die Ergebnisse der beiden Klassen durch Berechnung

a) der arithmetischen Mittel, b) der Zentralwerte (Mediane), c) der Modalwerte!

Lösung zu a)

Berechnung des Mittelwertes (Summe der Einzelwerte dividiert durch die Anzahl der Einzelwerte:

x

=

n x x

x¹+ ²+...+ ⁿ

;

x

1

, x

2

, ……x

n

= Einzelwerte; n ….. Anzahl der Einzelwerte) Mittelwert Klasse 4A:

x

= 288 : 17 = 16,94 ≈ 17 Punkte Mittelwert Klasse 4C:

x

= 308 : 17 = 18,12 ≈ 18 Punkte

Lösung zu b)

Beachte: Bei einer geraden Anzahl von Elementen ist der Zentralwert (Median) das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte der Liste stehenden Werte.

4A:

8 Elemente ≤ 18 8 Elemente ≥ 18 z = 18 Punkte

4C:

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(28)

4 8 12 12 13 14 16 17 18 18 21 21 21 22 23 24 24

9 13 15 15 16 17 17 18 18 18 19 20 21 22 23 23 24

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Testergebnisse – AB 2 – Lösung

Lösung zu c)

4A:

Der Wert 21 kommt 3-mal vor. m = 21 Punkte

4C:

Der Wert 18 kommt 3-mal vor. m = 18 Punkte

Aufgabe 2:

Die Gesamtpunkteanzahl beim Geschichtetest betrug 26 Punkte. Stelle die erreichten Punkte folgender SchülerInnen der 4A-Klasse prozentuell in einem Streifendiagramm dar!

(Hannah – 24 Punkte, Peter – 21 Punkte, Fritz – 16 Punkte, Robert – 12 Punkte und Kathrin – 8 Punkte)

Überschrift: Geschichtetest – 4A; Hannah – gelb, Peter – rot, Fritz – blau, Robert – grün, Kathrin – orange

Geschichtetest - 4A

92%

81%

62%

31%

46%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Hannah Peter Fritz Robert Kathrin

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(29)

Titel: Müllsammlung

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1 Aufgabe 2 1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen I4 I4

2. Darstellen und Modellbilden,

Operieren und Rechnen,

Interpretieren und Dokumentieren H3 H1/H2/H3 3. Herstellen von Verbindungen,

Einsetzen von Reflexionswissen K3 K2/K3

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

35 Minuten 10 Minuten 25 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

a und b) niedriger Aufgabe 2:

höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Zirkel, Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)

Besondere Bemerkungen:

Begabte SchülerInnen können das Beispiel mithilfe des Computers lösen.

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(30)

Titel: Schularbeitsnoten

Mathematische Kompetenzen

Aufgabe

1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen I4

2. Interpretieren H3

3. Herstellung von Verbindungen K2

Aufgabenstellung:

Bei der zuletzt durchgeführten Mathematikschularbeit sah die Verteilung der Noten in der 4a- und in der 4b-Klasse wie folgt aus:

4a:

4 Sehr gut 8 Gut 6 Befriedigend 1 Genügend 3 Nicht genügend

4b:

5 Sehr gut 7 Gut 9 Befriedigend 2 Genügend 2 Nicht genügend Vergleiche die Ergebnisse der beiden Klassen durch Berechnung der

a) arithmetischen Mittel,

b) der Zentralwerte (Mediane) und c) der Modalwerte!

Hilfsmittel: Taschenrechner

Ziel: : Die Lösung wird von den SchülerInnen mit vertiefter Allgemeinbildung (LvA) erwartet.

Komplexitätsstufe: höher

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(31)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Schularbeitsnoten – AB

Aufgabenstellung:

a) Arithmetisches Mittel x =

n x x

x¹+ ²+...+ ⁿ; (x₁, x₂, ……x_n = Einzelwerte; n ….. Anzahl der Einzelwerte)

Beachte: Die Einzelwerte wurden gemäß ihrer Häufigkeit jeweils zu fünf Summanden zusammengefasst.

4a:

4b:

b) Zentralwert (Median) z

4a:

4b:

c) Modalwert (Modus) m

4a:

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(32)

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5

Arbeiten mit st. Kenngrößen und Darstellungen – Schularbeitsnoten – Lösung

Aufgabenstellung:

a) Arithmetisches Mittel

x =

n x x

x¹+ ²+...+ ⁿ; (x₁, x₂, ……x_n = Einzelwerte; n ….. Anzahl der Einzelwerte)

Beachte: Die Einzelwerte wurden gemäß ihrer Häufigkeit jeweils zu fünf Summanden zusammengefasst.

4a:

x =

3 1 6 8 4

3 5 1 4 6 3 8 2 4 1

+ + + +

⋅ +

⋅ =

22

15 4 18 16

4+ + + +

= 22

57 = 2,590 ≈ 2,6

4b:

x =

2 2 9 7 5

2 5 2 4 9 3 7 2 5 1

+ + + +

⋅ +

⋅ =

25

10 8 27 14

5+ + + + =

25

64 = 2,56 ≈ 2,6

b) Zentralwert (Median) z

4a:

11 Noten ≤ 2 11 Noten ≥ 2

z = 2

2 2+

= 2

4 = 2; z = 2

4b:

12 Noten ≤ 3 12 Noten ≥ 3

z = 3

c) Modalwert (Modus) m

4a:

Die Note 2 (Gut) kommt 8-mal vor. m = 2

4b:

Die Note 3 (Befriedigend) kommt 9-mal vor. m = 3

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(33)

Titel: Gehälter

Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen I4

2. Rechnen und Operieren H2

3. Herstellen von Verbindungen K2

Aufgabenstellung:

Das durchschnittliche Monatsgehalt (arithmetische Mittel) aller MitarbeiterInnen in einem Dienstleistungsbetrieb beträgt € 1950,-.

Im Unternehmen arbeiten 17 Frauen und 25 Männer. Das durchschnittliche Monatsgehalt der Frauen beträgt € 1750,-.

Ermittle das arithmetische Mittel (Durchschnittsgehalt) der in diesem Betrieb tätigen Männer!

Hilfsmittel: Taschenrechner

Ziel: Die Lösung wird von den SchülerInnen der grundlegenden (LgA) und vertieften (LvA) Allgemeinbildung erwartet.

Komplexitätsstufe: mittel

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(34)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Gehälter – AB

Aufgabenstellung:

Es sind verschiedene Lösungen möglich.

Möglichkeit 1:

Gehälter insgesamt:

Gehälter der Frauen insgesamt:

Gehälter der Männer= Gehälter insgesamt – Gehälter der Frauen:

Durchschnittsgehalt der Männer:

Antwort:

Möglichkeit 2:

Gleichungsansatz (arithmetisches Mittel):

Gleichung:

Antwort:

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(35)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Gehälter – Lösung

Aufgabenstellung:

Es sind verschiedene Lösungen möglich.

Möglichkeit 1:

Gehälter insgesamt: 17 Frauen + 25 Männer = 42 Personen

42 ∙ 1 950 = 81 900

Gehälter der Frauen insgesamt: 17 ∙ 1 750 = 29 750 Gehälter der Männer= Gehälter

insgesamt – Gehälter der Frauen: 81 900 – 29 750 = 52 150 Durchschnittsgehalt der Männer: 52 150 : 25 = 2 086

Antwort: Das durchschnittliche Monatsgehalt der Männer beträgt € 2 086,-.

Möglichkeit 2:

Gleichungsansatz (arithmetisches Mittel) Gleichung:

1 950 ∙ 42 = 1 750 ∙ 17 + x ∙ 25 81 900 = 29 750 + 25∙x / - 29 750

52 150 = 25∙x / : 25 x = 2 086

Antwort: Das durchschnittliche Monatsgehalt der Männer beträgt € 2086,-.

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(36)

Titel: Politik

Mathematische Kompetenzen

Aufgabe

1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen I4

2. Interpretieren H3

3. Herstellen von Verbindungen K2

Nationalratswahlen 2008

Österreichisches Parlament - Mandatsverteilung

Im September 2008 wurde die Nationalratswahl in Österreich durchgeführt.

Aufgrund der Wahl ergab sich folgende Mandatsverteilung (siehe Arbeitsblatt):

Aufgabenstellung:

Für bestimmte Beschlüsse im Parlament ist Zwei-Drittel-Mehrheit erforderlich.

Welche Parteien können mit ihren Stimmen (Mandaten) einen derartigen Beschluss verhindern?

Verwende dazu das Arbeitsblatt!

Hilfsmittel: keine, eventuell Tabellenkalkulation

Ziel: Die Lösung wird von den SchülerInnen der grundlegenden (LgA) und vertieften (LvA) Allgemeinbildung erwartet.

Komplexitätsstufe: niedriger

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(37)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Politik – AB

Aufgabenstellung:

Mandatsverteilung 2008

Welche Parteien können mit ihren Stimmen (Mandaten) einen derartigen Beschluss verhindern? – Kreuze an!

Wie viele Stimmen sind zur Verhinderung einer Zwei-Drittel-Mehrheit notwendig? _______

kann Beschluss

verhindern kann Beschluss nicht verhindern

SPÖ + Grüne

□ □

FPÖ + BZÖ

□ □

ÖVP

□ □

SPÖ

□ □

FPÖ + BZÖ + Grüne

□ □

SPÖ + ÖVP

□ □

BZÖ + Grüne

□ □

ÖVP + FPÖ

□ □

Anzahl der Mandate

51

21 20

34 57

0 10 20 30 40 50 60 70

SPÖ ÖVP FPÖ BZÖ Grüne

Musterseite

(38)

Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Politik – Lösung

Aufgabenstellung:

Mandatsverteilung 2008

Welche Parteien können mit ihren Stimmen (Mandaten) einen derartigen Beschluss verhindern? – Kreuze an!

Wie viele Stimmen sind zur Verhinderung einer Zwei-Drittel-Mehrheit notwendig?

mind. 62 St.

kann Beschluss verhindern

kann Beschluss nicht verhindern

SPÖ + Grüne

□ □

FPÖ + BZÖ

□ □

ÖVP

□ □

SPÖ

□ □

FPÖ + BZÖ + Grüne

□ □

SPÖ + ÖVP

□ □

BZÖ + Grüne

□ □

ÖVP + FPÖ

□ □

Anzahl der Mandate

62 Stimmen 51

21 20

34 57

0 10 20 30 40 50 60 70

SPÖ ÖVP FPÖ BZÖ Grüne