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für die 7. Schulstufe

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Bildungsstandards

für die 7. Schulstufe

Arbeite n mit Figuren und K örpern

Arbeiten m it Variablen

und funktionalen Abh

ängigkeite n Arbeite n mit Z ahlen

und Ma ßen

Arbeiten mit statistischen

Kenngrößen und Darstell ungen

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Bildungsstandards für die 7. Schulstufe

Vorwort

Bildungsstandards sind ein Teilsystem der Steuerung von Bildungs- prozessen, die in Österreich in letzter Zeit in der Bildungspolitik an Bedeutung gewonnen haben.

Anlässlich verschiedener Bildungsstudien, z.B. PISA-Studie, die gezeigt haben, dass das allgemeinbildende Bildungssystem international eine eher mittelmäßige Stellung einnimmt, wurden seitens des Unterrichtsministeriums bundesweit einheitliche Bildungsstandards entwickelt und verbindlich gemacht.

Das Erreichen von Standards kann in verschiedenen Formen, mit verschiedenen Instrumenten und zu verschiedenen Zwecken erhoben werden. Sie dienen zur Sicherung und Weiterentwicklung der Qualität des Unterrichts und der Schule. Die vorliegenden Standards beschreiben die einzelnen Kompetenzen, die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln sollen. Sie sollen ihnen nachhaltig über die Schule hinaus zur Verfügung stehen.

Band 1 (Mathematik) und Band 2 (Deutsch) sollen den LehrerInnen der 7. Schulstufe als Hilfestellung dienen.

Überprüfungsblätter im Anhang dienen einerseits LehrerInnen und Eltern zur Kontrolle, andererseits können SchülerInnen jedes einzelne Aufgabengebiet selbst überprüfen und so feststellen, wo sie Defizite haben.

Mein besonderer Dank gilt dem Verleger Erwin Schwarzinger, der es mir ermöglichte, über den „Waldviertler Lehrmittelverlag“ die Arbeitsbände zu veröffentlichen.

Impressum:

Titel: Bildungsstandards für die 7. Schulstufe (Band 1 – Mathematik)

Autor und Lektorat: Roman Wielander, St. Martin 51, A-3971 St. Martin, Tel. +43 (0) 676/9611861;

E-Mail: [email protected], Produktion: Waldviertler Lehrmittelverlag, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20, www.lernen.at; Grafiken: Roman Wielander; Satz und Layout: Roman Wielander; Verlag: Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20, Tel.+ Fax +43/(0)2822/535350, E-Mail:

[email protected], www.lernen.at; Urheber- und Leistungsschutzrechte: Roman Wielander © bei Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger; 4. Auflage 2017, Die Verwertung der Texte und Bilder, auch auszugsweise, ist ohne Zustimmung des Verlages urheberrechtswidrig und strafbar. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und für die Verarbeitung mit elektronischen Systemen. Die Vervielfältigung der Arbeitsblätter ist nur für den Schulgebrauch an e i n e r Schule gestattet. Jede weitere Verwendung sowie Vervielfältigung, insbesondere durch Printmedien und audiovisuelle Medien, sind auf Grund des Urheberrechtes verboten und bedürfen der ausdrücklichen Zustimmung des Autors und des Verlages. Alle Rechte vorbehalten. Für Veröffentlichung:

Quellenangabe.

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Inhaltsverzeichnis

Bildungsstandards – Mathematik 7. Schulstufe

Thema Seite

Vorwort 2

Inhaltsverzeichnis 3-5

Einleitung – Standards Mathematik – Allgemein 6-9

Erläuterung mathematischer Kompetenzen 10

Lehrstoff – Allgemein 7. Schulstufe 11-12

Kompetenzbereich 1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen 13

ÜB 1 – Zahlen-Wirrwarr 14-18

ÜB 2 – Viel Neues 19-27

ÜB 3 – Spiegelung und Tangente 28-32

ÜB 4 – Grundrechnungsarten 33-37

ÜB 5 – Zahlenchaos 38-42

ÜB 6 – Gesetze 43-47

ÜB 7 – Knobeleien 48-52

ÜB 8 – Irrgarten 53-57

ÜB 9 – Aus dem Leben 58-62

ÜB 10 – Sparmeister 63-67

Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen

Abhängigkeiten 68

ÜB 1 – Terme 1 69-73

ÜB 2 – Terme 2 74-78

ÜB 3 – Produktbildung 79-83

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Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten

ÜB 5 – Gleichungen 89-93

ÜB 6 – Schlaue Köpfe 1 94-98

ÜB 7 – Schlaue Köpfe 2 99-103

ÜB 8 – Umformen von Formeln 104-108

ÜB 9 – Aus dem Alltag 109-113

ÜB 10 – Der Verkehr 114-118

Kompetenzbereich 3: Arbeiten mit Figuren und Körpern 119

ÜB 1 – Das Koordinatensystem 1 120-126

ÜB 2 – Das Koordinatensystem 2 127-131

ÜB 3 – Vierecke 132-140

ÜB 4 – Verschiedene Dreiecke 141-147

ÜB 5 – Der Wegweiser 148-152

ÜB 6 – Ähnlichkeiten 153-157

ÜB 7 – Unregelmäßigkeiten 158-164

ÜB 8 – Grundstücksberechnung 165-171

ÜB 9 – Das Hallenbad 172-178

ÜB 10 - Pyramidenberechnungen 179-183

Kompetenzbereich 4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und

Darstellungen 184

ÜB 1 – Trinkgewohnheiten 185-189

ÜB 2 – Lotto 190-194

ÜB 3 – Olympische Spiele 195-199

ÜB 4 – Testergebnisse 200-204

ÜB 5 – Müllsammlung 205-210

ÜB 6 – Punktewertung 211-215

ÜB 7 – Benzinverbrauch 216-222

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Kompetenzbereich 4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

ÜB 8 – Der Winter 223-229

ÜB 9 – Niederschlag 230-238

Anhang: Überprüfungsblätter 239-241

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Standards Mathematik – Allgemein 1

Einleitung

Die mathematischen Kompetenzen

Sie beschreiben jene Bereiche (drei an der Zahl), die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln und längerfristig verfügbar haben sollten.

1. Handlungsbereiche

Für die mathematischen Standards wurden die folgenden vier Tätigkeits- bereiche erarbeitet und festgehalten:

H1

Darstellen, Modellbilden

Darstellen bedeutet, dass Sachverhalte mathematisch anders repräsentiert werden sollen.

Das Modellbilden erfordert zusätzlich, mathematische

Beziehungen zu erkennen und diese dann darzustellen. Hier sollen Annahmen getroffen oder Vereinfachungen vorgenommen werden.

Beispiele:

einen gegebenen Sachverhalt in eine andere

Darstellungsform übertragen (tabellarisch, grafisch,…)

Zeichnungen einfacher geometrischer Figuren anfertigen (mit Lineal oder als Freihandskizze)

mathematische Zusammenhänge bestätigen und darstellen

geeignete mathematische Mittel (Begriffe, Modelle, Darstellungsformen) und Lösungswege auswählen

aus bekannten Modellen neue Modelle entwickeln (modulare Arbeiten)

alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache der Mathematik übersetzen

H2

Rechnen, Operieren Rechnen meint einerseits die Durchführung von Rechen-

operationen mit konkreten Zahlen, andererseits die Umformung symbolisch dargestellter Sachverhalte.

Unter dem Begriff „Operieren“ versteht man die Planung sowie die korrekte und sinnvolle Durchführung von Rechen- oder Konstruktionsabläufen. Dazu gehören auch geometrische Konstruktionen und das Arbeiten mit Tabellen und Grafiken.

Beispiele:

elementare Rechenoperationen durchführen, Potenzieren, Wurzel ziehen

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Standards Mathematik – Allgemein 2

H2

Rechnen, Operieren Beispiele:

Maßeinheiten umrechnen

in Formeln Zahlen einsetzen, Werte berechnen

Gleichungen und Ungleichungen lösen

Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden, Näherungswerte bestimmen

mit und in Tabellen oder Grafiken rechnen

geometrische Konstruktionen durchführen

H3

Interpretieren Aus mathematischen Darstellungen sollen Fakten, Zusammen- hänge oder Sachverhalte erkannt und dargestellt werden.

Weiters sollen die Beziehungen und Sachverhalte gedeutet werden können.

Beispiele:

aus Tabellen und Grafiken Werte ablesen und deuten

tabellarisch, grafisch oder symbolische Zusammenhänge beschreiben und deuten

Zusammenhänge und Strukturen in Termen und Formeln erkennen und deuten

Rechenergebnisse in Kontexten deuten

tabellarische, grafische oder auch symbolische Rechen- darstellungen angemessen deuten

H4

Argumentieren, Begründen

Beim Argumentieren werden mathematische Aspekte auf eine bestimmte Sichtweise, die für oder gegen etwas sprechen, untersucht. Dies erfordert eine genaue Verwendung von Regeln und Eigenschaften.

Das Begründen verlangt bestimmte Schlussfolgerungen und Entscheidungen bei mathematischen Beispielen.

Beispiele:

Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs oder eines Lösungsweges sprechen

Vermutungen formulieren und begründen

Zusammenhänge (Formeln, Sätze) herleiten oder beweisen

richtige oder falsche mathematische Argumentationen bzw. Begründungen erkennen

begründen, warum eine Argumentation oder Begründung zutreffend bzw. unzutreffend ist

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Standards Mathematik – Allgemein 3

2. Inhaltsbereiche

Sie wurden unter der Berücksichtigung des derzeitigen Lehrplanes ausgewählt und zu folgenden vier Bereichen zusammengefasst:

I1

Zahlen und Maße

Verschiedene Zahlen und Maße sollen praxisnahe Anwendung finden.

Lehrstoff:

natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen

Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Potenzschreibweise, Wurzeln

Rechenoperationen, Rechengesetze und –regeln

Anteile, Prozente, Zinsen

Maßeinheiten – für Längen, Flächen, Volumina, Massen, Zeiten und zusammengesetzte Größen

I2

Variable, funktionale Abhängigkeiten

Variable, Terme und (Un-)Gleichungen, funktionale Abhängig- keiten sollen unterschiedlich dargestellt werden.

Lehrstoff:

Variable und Terme

einfache Gleichungen (auch Formeln) und Ungleichungen

lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

tabellarische, grafische und symbolische Darstellung funktionaler Zusammenhänge

lineare Funktionen

direkte und indirekte Proportionalität

I3

Geometrische Figuren und Körper

Das Erlernen grundlegender geometrischer Begriffe, einfacher Figuren und Körper und deren Eigenschaften und Darstellung (Zeichnung, Konstruktion) steht im Vordergrund.

Lehrstoff:

Punkt, Gerade, Ebene, Strecke, Winkel, Parallele, Normale

Symmetrie, Ähnlichkeit

Dreiecke, Vierecke, Kreis

Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel

Satz des Pythagoras

Umfangs-, Flächen-, Oberflächen- und Volumsformeln

I4

Statistische Darstellungen und

Kenngrößen

Statistische Daten sollen tabellarisch und grafisch dargestellt werden können.

Lehrstoff:

tabellarische Darstellung statistischer Daten

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Standards Mathematik – Allgemein 4

I4

Statistische Darstellungen und

Kenngrößen

Lehrstoff:

Stab-, Kreis-, Streifen-, Linien-, Streudiagramm, Piktogramm

absolute und relative Häufigkeiten

arithmetisches Mittel, Median, Quartile

Spannweite, Interquartilabstand

3. Komplexitätsbereiche

Mathematische Problemstellungen können einerseits lediglich die direkte Anwendung eines Begriffes erfordern (leicht), andererseits eine Kombination und Vernetzung mehrerer mathematischer Begriffe verlangen (schwierig). Die Anforderungen der Rechnungen umfassen drei Bereiche:

K1

Einsetzen von Grundkenntnissen u. –fertigkeiten (= GERINGE KOMPLEXITÄT)

Darunter versteht man die Wiedergabe oder direkte Anwendung von grundlegenden mathematischen Begriffen, Sätzen, Verfahren und Darstellungen.

Mathematisches Wissen und Können ist direkt aus dem Text erkenn- und anwendbar. Aus diesem Grund erfordern die mathematischen Fertigkeiten bzw. Kenntnisse eine geringe Komplexität.

K2

Herstellen von Verbindungen (= MITTLERE KOMPLEXITÄT)

Wenn mathematische Sachverhalte und deren Problemlösungen komplexer sind, müssen Verbindungen (Begriffe, Sätze,

Verfahren, Darstellungsformen) aus verschiedenen mathematischen Gebieten hergestellt werden.

K3

Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren (= HÖHERE KOMPLEXITÄT)

Hier ist das Nachdenken über Zusammenhänge erforderlich, die nicht unmittelbar aus dem dargelegten mathematischen Sachverhalt ablesbar sind.

Dazu gehören z.B. Lösungswege und Alternativen, Vor- und Nachteile von Darstellungsformen, Grenzen von Modellen, Nachdenken über Interpretationen und Begründungen.

All diese Beispiele sollen durch Dokumentationen von Lösungs- wegen sichtbar gemacht werden.

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Komplexität

mathematischer Inhalt

mathematische Handlung

Kompetenz (H2, I1, K3)

Erläuterung mathematischer Kompetenzen

Mathematische Kompetenzen

(Modelldarstellung)

Sie beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten (= Handlungen), auf mathematische Inhalte und auf die Art der Komplexität (Grad der Vernetzung zu anderen Bereichen)

Beispiel: Eine Kompetenz ist die Fähigkeit zur Erklärung (Handlungsbereich = H) von mathematischen Darstellungen des Sachverhaltes (Inhaltsbereich = I), wobei mehrere Fakten und Zusammenhänge in Verbindung gebracht werden müssen (Komplexitätsbereich = K)

Handlungsbereich – H Inhaltsbereich – I

Komplexitätsbereich – K

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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 1

Lehrstoff

7. Schulstufe (= 3. Klasse) 1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen

Die Schüler sollen …

- rationale Zahlen in verschiedenen Formen deuten können (als Zustände gegenüber einem Nullpunkt/als Punkte auf einer Zahlengeraden).

- „Kleiner und Größer“ – Beziehungen erkennen und beschreiben.

- rationale Zahlen für Darstellungen in Koordinatensystemen verwenden können.

- die vier Grundrechnungsarten vermischen und derart entstehende Terme auch mit elektronischen Rechenhilfsmitteln berechnen können.

- Sicherheit im Kopfrechnen gewinnen.

- Potenzschreibweise kennen und anwenden können.

- Zahlen, vor allem in Sachsituationen, unter Verwendung von Zehnerpotenzen darstellen können.

2. Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten Die Schüler sollen …

- Formeln bzw. Terme umformen und durch Rechenregeln begründen können.

- mit einfachen Potenzen arbeiten.

- Formeln in Sachsituationen und in der Geometrie aufstellen können.

- Aufgaben aus Anwendungsbereichen und aus der Geometrie durch Umformungen von Formeln oder Termen lösen können.

- lineare Gleichungen mit einer Unbekannten lösen.

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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 2

3. Arbeiten mit Figuren und Körpern Die Schüler sollen …

- Figuren vergrößern und verkleinern.

- ähnliche Figuren erkennen und beschreiben.

- Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken begründen und damit Flächeninhalte berechnen können.

- Umkehraufgaben lösen können.

- Gegenstände, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben, zeichnerisch darstellen können.

- Oberfläche, Rauminhalt und Gewicht von Gegenständen, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben, berechnen können.

- den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren nutzen können.

4. Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Die Schüler sollen …

- lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse mit verschiedenen Annahmen unter Zuhilfenahme von elektronischen Rechenhilfsmitteln untersuchen können (z.B. Zinssätze).

- funktionale Abhängigkeiten erkennen und formelmäßig und graphisch darstellen.

- Datenmengen untersuchen und darstellen.

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Arbeitsaufgaben zum

Kompetenzbereich

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Übungsbeispiel 1

Titel: Zahlen-Wirrwarr

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Ganze Zahlen Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1 Aufgabe 2

1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen I1 I1

2. Darstellen und Modellbilden,

Operieren und Rechnen H2 H1/H2

3. Grundkenntnisse und -fertigkeiten K1 K1

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

20 Minuten 10 Minuten 10 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

a und c) mittel; b) niedriger Aufgabe 2:

a) niedriger; b) mittel

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck

Besondere Bemerkungen:

Der Taschenrechner ist bei beiden Aufgaben nicht erlaubt.

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 1

Aufgabe 1:

a) Ordne der gegebenen Menge M die Elemente der Größe nach so zu, dass das größte Element ganz links steht!

1) M = { -12, 0, 2, -4, |-7|, 5, 14, -1 } 2) M = { 6, -1, |-17|, -13, 3, 12, |-8|, -5 }

Lösung:

1) M = 2) M =

b) Setze die Zeichen „<“, „=“ bzw. „>“ so ein, dass eine wahre Aussage entsteht!

|-23| 18 31 30

-11 |-11| |-1| |+1|

-19 -24 |-8| -6

10 |-10| -23 0

c) Gib jene Zahl an, die in der Mitte zwischen 1) -4 und +6

2) -14 und 0 liegt!

Lösung:

1)

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- 1 0 -3

-4 -2

-5

-6 1 2 3 4 5 6 7

-7

1)

- 1 0 -3

-4 -2

-5

-6 1 2 3 4 5 6 7

-7

2)

Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 2

Aufgabe 2:

a) Stelle die folgenden Rechnungen mithilfe der Pfeildarstellung grafisch dar!

1) (-7) – (-9) = __________________

2) (+5) – (+11) = __________________

Lösung:

b) Gib alle ganzen Zahlen an, für die die jeweilige Aussage wahr ist!

1)

|x| < 9

2)

-1 ≤|m| < 5

3)

0 < g ≤ 8 Lösung:

1) L = 2) L = 3) L =

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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 1 – Lösung

Aufgabe 1:

a) Ordne der gegebenen Menge M die Elemente der Größe nach so zu, dass das größte Element ganz links steht!

1) M = { -12, 0, 2, -4, |-7|, 5, 14, -1 } 2) M = { 6, -1, |-17|, -13, 3, 12, |-8|, -5 }

Lösung:

1) M = { 14, |-7|, 5, 2, 0, -1, -4, -12 } 2) M = { |-17|, 12, |-8|, 6, 3, -1, -5, -13 }

b) Setze die Zeichen „<“, „=“ bzw. „>“ so ein, dass eine wahre Aussage entsteht!

|-23| > 18 31 > 30

-11 < |-11| |-1| = |+1|

-19 > -24 |-8| > -6

10 = |-10| -23 < 0

c) Gib jene Zahl an, die in der Mitte zwischen 1) -4 und +6

2) -14 und 0 liegt!

Lösung:

1) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – Die Zahl lautet 1.

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- 1 0

-3

-4 -2

-5

-6 1 2 3 4 5 6 7

-7

+ 9

1)

- 1 0

-3

-4 -2

-5

-6 1 2 3 4 5 6 7

-7

- 11

2)

Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 2 – Lösung

Aufgabe 2:

a) Stelle die folgenden Rechnungen mithilfe der Pfeildarstellung grafisch dar!

1) (-7) – (-9) = (-7) + 9 = 2 2) (+5) – (+11) = (+5) – 11 = -6

Lösung:

b) Gib alle ganzen Zahlen an, für die die jeweilige Aussage wahr ist!

1) |x| < 9

2) -1 ≤|m| < 5 3) 0 < g ≤ 8 Lösung:

1) L = { -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 2) L = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }

3) L = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Übungsbeispiel 6

Titel: Ähnlichkeiten

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Strahlensatz Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1 Aufgabe 2 1. Arbeiten mit Figuren und Körpern I3 I3

2. Darstellen und Modellbilden, Operieren und Rechnen,

Argumentieren und Begründen

H1/H2 H1/H4

3. Grundkenntnisse und -fertigkeiten Herstellen von Verbindungen,

Einsetzen von Reflexionswissen

K1/K2 K2/K3

Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

40 Minuten 15 Minuten 25 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

a) niedriger; b und c) mittel Aufgabe 2:

a und b) höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Bleistift, Taschenrechner

Besondere Bemerkungen:

Bei Aufgabe 1 a) ist eine Abweichung von +/- 1 mm erlaubt!

Bei leistungsschwächeren SchülerInnen kann die schriftliche Erklärung bei Aufgabe 2 a) entfallen.

(20)

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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 1

Aufgabe 1:

a) Teile die Strecke XY (XY = 117 mm) im Verhältnis 2 : 7!

b) Bezeichne den Teilungspunkt der Strecke XY mit Z und gib das Verhältnis ZY : XY an!

c) Berechne die Längen der Strecken XZ und ZY! Vergleiche XZ und ZY mit deiner Zeichnung!

Mögliche Lösung a – Zeichnung)

Lösung b)

XY = _________ XZ = _________ ZY = _________

Lösung c)

Berechnung der Länge der Strecke XZ bzw. ZY:

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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 2

Aufgabe 2:

a) Konstruiere das Dreieck ABC aus folgenden Bestimmungsstücken:

a : c = 5 : 3, α = 120°, b = 60 mm (Beschreibe den Konstruktionsvorgang!) b) Was versteht man unter „ähnlichen Dreiecken“?

Lösung a)

Konstruktionsvorgang:

Lösung b)

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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 1 – Lösung

Aufgabe 1:

a) Teile die Strecke XY (XY = 117 mm) im Verhältnis 2 : 7!

b) Bezeichne den Teilungspunkt der Strecke XY mit Z und gib das Verhältnis ZY : XY an!

c) Berechne die Längen der Strecken XZ und ZY! Vergleiche XZ und ZY mit deiner Zeichnung!

Mögliche Lösung a – Zeichnung)

Lösung b)

XY = 9 Teile, XZ = 2 Teile, ZY = 7 Teile

ZY : XY = 7 : 9

Lösung c) – Messung und Berechnung stimmen überein.

Berechnung der Länge der Strecke XZ bzw. ZY:

ZY : XY = 7 : 9 ZY =

9

7

XY ZY =

9

7

117 = 91 mm

XZ = XY – ZY XZ = 117 – 91 XZ = 26 mm

(23)

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A1= A C1

C

B1 B a1

c1

b a

α

Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 2 – Lösung

Aufgabe 2:

a) Konstruiere das Dreieck ABC aus folgenden Bestimmungsstücken:

a : c = 5 : 3, α = 120°, b = 60 mm (Beschreibe den Konstruktionsvorgang!) b) Was versteht man unter „ähnlichen Dreiecken“?

Lösung a)

Konstruktionsvorgang:

1. Die Gestalt des Dreiecks ist durch das Verhältnis a : c = 5 : 3 und durch den Winkel α = 120° eindeutig definiert. Konstruiere daher zuerst aus zwei Strecken a1 und c1, die im Verhältnis 5 : 3 stehen, und dem Winkel α = 120°

ein zum Dreieck ABC ähnliches Hilfsdreieck A1B1C1! Wähle zum Beispiel a1 = 5 cm und c1 = 3 cm!

2. Jetzt musst du das Hilfsdreieck durch eine Streckung auf die geforderte Größe bringen. Verlängere die Strecke A1C1 auf 60 mm! Du erhältst den Pkt. C.

3. Zeichne eine Parallele zu B1C1 durch den Punkt C! Diese Parallele schneidet die Verlängerung von c1. Du erhältst den Punkt B.

4. Zeichne das Dreieck ABC nach und beschrifte es!

Lösung b)

Dreiecke sind einander ähnlich, wenn einander entsprechende Winkel gleich

(24)

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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Übungsbeispiel 3

Titel: Olympische Spiele

Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander

Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen

Aufgabe 1 Aufgabe 2 1. Statistische Darstellungen und

Kenngrößen I4 I4

2. Darstellen und Modellbilden, Operieren und Rechnen,

Interpretieren und Dokumentieren

H2/H3 H1/H2/H3

3. Herstellen von Verbindungen,

Einsetzen von Reflexionswissen K2/K3 K2/K3 Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

30 Minuten 15 Minuten 15 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:

a, b und c) niedriger; d) mittel Aufgabe 2:

höher

Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)

Besondere Bemerkungen:

SchülerInnen der 1. LG können das Beispiel mithilfe des Computers lösen.

(25)

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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – Arbeitsblatt 1

Aufgabe 1:

Bei den Olympischen Spielen wurden die Teilnehmer vor den

Boxwettbewerben gewogen und anschließend in vier Gewichtsklassen eingeteilt.

Gewichtsklasse 1: 100 kg und mehr (Schwergewicht) Gewichtsklasse 2: 99 kg – 80 kg (Mittelgewicht) Gewichtsklasse 3: 79 kg – 60 kg (Leichtgewicht) Gewichtsklasse 4: 59 kg und weniger (Federgewicht) Folgende Daten in kg wurden notiert:

104, 48, 93, 61, 126, 58, 78, 83, 109, 115, 53, 49, 75, 121, 66, 91, 52, 114, 135, 87, 107, 51, 90, 89

Beantworte folgende Fragen!

a) Wie viele Sportler nahmen insgesamt am Turnier teil?

Antwort:

b) Welcher Boxer hatte das maximale Gewicht?

Antwort:

c) Berechne den Mittelwert!

Antwort:

Berechnung des Mittelwertes (Summe der Einzelwerte dividiert durch die Anzahl der Einzelwerte: x =

n x x

x1 2... n; x1, x2, ……xn = Einzelwerte;

n ….. Anzahl der Einzelwerte) Mittelwert: x =

d) Ergänze die Tabelle!

(Beachte: Strichliste, absolute und relative Häufigkeit, prozentuelle

(26)

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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – Arbeitsblatt 2

Aufgabe 1 (Fortsetzung):

Ergänze die Tabelle!

Gewichtsklasse Strichliste absolute H. relative H. prozentuelle H.

Schwergewicht Mittelgewicht Leichtgewicht Federgewicht

Aufgabe 2:

Stelle die prozentuelle Häufigkeit der Gewichtsklassen in einem Streifen- diagramm dar! Streifen: Schwergewicht – orange, Mittelgewicht – blau, Leichtgewicht – gelb, Federgewicht – rot Überschrift: Gewichtsklassen

x-Achse – Gewichtsklassen y-Achse – Einheit Prozent

(27)

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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – Arbeitsblatt 1 – Lösung

Aufgabe 1:

Bei den Olympischen Spielen wurden die Teilnehmer vor den

Boxwettbewerben gewogen und anschließend in vier Gewichtsklassen eingeteilt.

Gewichtsklasse 1: 100 kg und mehr (Schwergewicht) Gewichtsklasse 2: 99 kg – 80 kg (Mittelgewicht) Gewichtsklasse 3: 79 kg – 60 kg (Leichtgewicht) Gewichtsklasse 4: 59 kg und weniger (Federgewicht) Folgende Daten in kg wurden notiert:

104, 48, 93, 61, 126, 58, 78, 83, 109, 115, 53, 49, 75, 121, 66, 91, 52, 114, 135, 87, 107, 51, 90, 89

Beantworte folgende Fragen!

a) Wie viele Sportler nahmen insgesamt am Turnier teil?

Antwort: 24

b) Welcher Boxer hatte das maximale Gewicht?

Antwort: Der Boxer mit 135 kg hatte das maximale Gewicht.

c) Berechne den Mittelwert!

Antwort: Der Mittelwert beträgt 85,625 kg.

Berechnung des Mittelwertes (Summe der Einzelwerte dividiert durch die Anzahl der Einzelwerte: x =

n x x

x1 2... n; x1, x2, ……xn = Einzelwerte;

n ….. Anzahl der Einzelwerte)

Mittelwert: x = 2055 : 24 = 85,625 kg d) Ergänze die Tabelle!

(Beachte: Strichliste, absolute und relative Häufigkeit, prozentuelle

(28)

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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – AB 2 – Lösung

Aufgabe 1 (Fortsetzung):

Ergänze die Tabelle!

Gewichtsklasse Strichliste absolute H. relative H. prozentuelle H.

Schwergewicht

IIII III

8 0,33 33%

Mittelgewicht

IIII I

6 0,25 25%

Leichtgewicht

IIII

4 0,17 17%

Federgewicht

IIII I

6 0,25 25%

Aufgabe 2:

Stelle die prozentuelle Häufigkeit der Gewichtsklassen in einem Streifen- diagramm dar! Streifen: Schwergewicht – orange, Mittelgewicht – blau, Leichtgewicht – gelb, Federgewicht – rot Überschrift: Gewichtsklassen

Gewichtsklassen

25%

17%

25%

33%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Schw ergew icht Mittelgew icht Leichtgew icht Federgew icht

Referenzen

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