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Bildungsstandards
für die 7. Schulstufe
Arbeite n mit Figuren und K örpern
Arbeiten m it Variablen
und funktionalen Abh
ängigkeite n Arbeite n mit Z ahlen
und Ma ßen
Arbeiten mit statistischen
Kenngrößen und Darstell ungen
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Bildungsstandards für die 7. Schulstufe
Vorwort
Bildungsstandards sind ein Teilsystem der Steuerung von Bildungs- prozessen, die in Österreich in letzter Zeit in der Bildungspolitik an Bedeutung gewonnen haben.
Anlässlich verschiedener Bildungsstudien, z.B. PISA-Studie, die gezeigt haben, dass das allgemeinbildende Bildungssystem international eine eher mittelmäßige Stellung einnimmt, wurden seitens des Unterrichtsministeriums bundesweit einheitliche Bildungsstandards entwickelt und verbindlich gemacht.
Das Erreichen von Standards kann in verschiedenen Formen, mit verschiedenen Instrumenten und zu verschiedenen Zwecken erhoben werden. Sie dienen zur Sicherung und Weiterentwicklung der Qualität des Unterrichts und der Schule. Die vorliegenden Standards beschreiben die einzelnen Kompetenzen, die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln sollen. Sie sollen ihnen nachhaltig über die Schule hinaus zur Verfügung stehen.
Band 1 (Mathematik) und Band 2 (Deutsch) sollen den LehrerInnen der 7. Schulstufe als Hilfestellung dienen.
Überprüfungsblätter im Anhang dienen einerseits LehrerInnen und Eltern zur Kontrolle, andererseits können SchülerInnen jedes einzelne Aufgabengebiet selbst überprüfen und so feststellen, wo sie Defizite haben.
Mein besonderer Dank gilt dem Verleger Erwin Schwarzinger, der es mir ermöglichte, über den „Waldviertler Lehrmittelverlag“ die Arbeitsbände zu veröffentlichen.
Impressum:
Titel: Bildungsstandards für die 7. Schulstufe (Band 1 – Mathematik)
Autor und Lektorat: Roman Wielander, St. Martin 51, A-3971 St. Martin, Tel. +43 (0) 676/9611861;
E-Mail: [email protected], Produktion: Waldviertler Lehrmittelverlag, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20, www.lernen.at; Grafiken: Roman Wielander; Satz und Layout: Roman Wielander; Verlag: Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger, A-3910 Zwettl, Syrafeld 20, Tel.+ Fax +43/(0)2822/535350, E-Mail:
[email protected], www.lernen.at; Urheber- und Leistungsschutzrechte: Roman Wielander © bei Waldviertler Lehrmittelverlag, E. Schwarzinger; 4. Auflage 2017, Die Verwertung der Texte und Bilder, auch auszugsweise, ist ohne Zustimmung des Verlages urheberrechtswidrig und strafbar. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und für die Verarbeitung mit elektronischen Systemen. Die Vervielfältigung der Arbeitsblätter ist nur für den Schulgebrauch an e i n e r Schule gestattet. Jede weitere Verwendung sowie Vervielfältigung, insbesondere durch Printmedien und audiovisuelle Medien, sind auf Grund des Urheberrechtes verboten und bedürfen der ausdrücklichen Zustimmung des Autors und des Verlages. Alle Rechte vorbehalten. Für Veröffentlichung:
Quellenangabe.
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Inhaltsverzeichnis
Bildungsstandards – Mathematik 7. Schulstufe
Thema Seite
Vorwort 2
Inhaltsverzeichnis 3-5
Einleitung – Standards Mathematik – Allgemein 6-9
Erläuterung mathematischer Kompetenzen 10
Lehrstoff – Allgemein 7. Schulstufe 11-12
Kompetenzbereich 1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen 13
ÜB 1 – Zahlen-Wirrwarr 14-18
ÜB 2 – Viel Neues 19-27
ÜB 3 – Spiegelung und Tangente 28-32
ÜB 4 – Grundrechnungsarten 33-37
ÜB 5 – Zahlenchaos 38-42
ÜB 6 – Gesetze 43-47
ÜB 7 – Knobeleien 48-52
ÜB 8 – Irrgarten 53-57
ÜB 9 – Aus dem Leben 58-62
ÜB 10 – Sparmeister 63-67
Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen
Abhängigkeiten 68
ÜB 1 – Terme 1 69-73
ÜB 2 – Terme 2 74-78
ÜB 3 – Produktbildung 79-83
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Kompetenzbereich 2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten
ÜB 5 – Gleichungen 89-93
ÜB 6 – Schlaue Köpfe 1 94-98
ÜB 7 – Schlaue Köpfe 2 99-103
ÜB 8 – Umformen von Formeln 104-108
ÜB 9 – Aus dem Alltag 109-113
ÜB 10 – Der Verkehr 114-118
Kompetenzbereich 3: Arbeiten mit Figuren und Körpern 119
ÜB 1 – Das Koordinatensystem 1 120-126
ÜB 2 – Das Koordinatensystem 2 127-131
ÜB 3 – Vierecke 132-140
ÜB 4 – Verschiedene Dreiecke 141-147
ÜB 5 – Der Wegweiser 148-152
ÜB 6 – Ähnlichkeiten 153-157
ÜB 7 – Unregelmäßigkeiten 158-164
ÜB 8 – Grundstücksberechnung 165-171
ÜB 9 – Das Hallenbad 172-178
ÜB 10 - Pyramidenberechnungen 179-183
Kompetenzbereich 4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und
Darstellungen 184
ÜB 1 – Trinkgewohnheiten 185-189
ÜB 2 – Lotto 190-194
ÜB 3 – Olympische Spiele 195-199
ÜB 4 – Testergebnisse 200-204
ÜB 5 – Müllsammlung 205-210
ÜB 6 – Punktewertung 211-215
ÜB 7 – Benzinverbrauch 216-222
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Kompetenzbereich 4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen
ÜB 8 – Der Winter 223-229
ÜB 9 – Niederschlag 230-238
Anhang: Überprüfungsblätter 239-241
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Standards Mathematik – Allgemein 1
Einleitung
Die mathematischen Kompetenzen
Sie beschreiben jene Bereiche (drei an der Zahl), die SchülerInnen bis zum Ende der 8. Schulstufe entwickeln und längerfristig verfügbar haben sollten.
1. Handlungsbereiche
Für die mathematischen Standards wurden die folgenden vier Tätigkeits- bereiche erarbeitet und festgehalten:
H1
Darstellen, ModellbildenDarstellen bedeutet, dass Sachverhalte mathematisch anders repräsentiert werden sollen.
Das Modellbilden erfordert zusätzlich, mathematische
Beziehungen zu erkennen und diese dann darzustellen. Hier sollen Annahmen getroffen oder Vereinfachungen vorgenommen werden.
Beispiele:
einen gegebenen Sachverhalt in eine andere
Darstellungsform übertragen (tabellarisch, grafisch,…)
Zeichnungen einfacher geometrischer Figuren anfertigen (mit Lineal oder als Freihandskizze)
mathematische Zusammenhänge bestätigen und darstellen
geeignete mathematische Mittel (Begriffe, Modelle, Darstellungsformen) und Lösungswege auswählen
aus bekannten Modellen neue Modelle entwickeln (modulare Arbeiten)
alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache der Mathematik übersetzen
H2
Rechnen, Operieren Rechnen meint einerseits die Durchführung von Rechen-operationen mit konkreten Zahlen, andererseits die Umformung symbolisch dargestellter Sachverhalte.
Unter dem Begriff „Operieren“ versteht man die Planung sowie die korrekte und sinnvolle Durchführung von Rechen- oder Konstruktionsabläufen. Dazu gehören auch geometrische Konstruktionen und das Arbeiten mit Tabellen und Grafiken.
Beispiele:
elementare Rechenoperationen durchführen, Potenzieren, Wurzel ziehen
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Standards Mathematik – Allgemein 2
H2
Rechnen, Operieren Beispiele: Maßeinheiten umrechnen
in Formeln Zahlen einsetzen, Werte berechnen
Gleichungen und Ungleichungen lösen
Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden, Näherungswerte bestimmen
mit und in Tabellen oder Grafiken rechnen
geometrische Konstruktionen durchführen
H3
Interpretieren Aus mathematischen Darstellungen sollen Fakten, Zusammen- hänge oder Sachverhalte erkannt und dargestellt werden.Weiters sollen die Beziehungen und Sachverhalte gedeutet werden können.
Beispiele:
aus Tabellen und Grafiken Werte ablesen und deuten
tabellarisch, grafisch oder symbolische Zusammenhänge beschreiben und deuten
Zusammenhänge und Strukturen in Termen und Formeln erkennen und deuten
Rechenergebnisse in Kontexten deuten
tabellarische, grafische oder auch symbolische Rechen- darstellungen angemessen deuten
H4
Argumentieren, BegründenBeim Argumentieren werden mathematische Aspekte auf eine bestimmte Sichtweise, die für oder gegen etwas sprechen, untersucht. Dies erfordert eine genaue Verwendung von Regeln und Eigenschaften.
Das Begründen verlangt bestimmte Schlussfolgerungen und Entscheidungen bei mathematischen Beispielen.
Beispiele:
Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs oder eines Lösungsweges sprechen
Vermutungen formulieren und begründen
Zusammenhänge (Formeln, Sätze) herleiten oder beweisen
richtige oder falsche mathematische Argumentationen bzw. Begründungen erkennen
begründen, warum eine Argumentation oder Begründung zutreffend bzw. unzutreffend ist
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Standards Mathematik – Allgemein 3
2. Inhaltsbereiche
Sie wurden unter der Berücksichtigung des derzeitigen Lehrplanes ausgewählt und zu folgenden vier Bereichen zusammengefasst:
I1
Zahlen und MaßeVerschiedene Zahlen und Maße sollen praxisnahe Anwendung finden.
Lehrstoff:
natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen
Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Potenzschreibweise, Wurzeln
Rechenoperationen, Rechengesetze und –regeln
Anteile, Prozente, Zinsen
Maßeinheiten – für Längen, Flächen, Volumina, Massen, Zeiten und zusammengesetzte Größen
I2
Variable, funktionale AbhängigkeitenVariable, Terme und (Un-)Gleichungen, funktionale Abhängig- keiten sollen unterschiedlich dargestellt werden.
Lehrstoff:
Variable und Terme
einfache Gleichungen (auch Formeln) und Ungleichungen
lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
tabellarische, grafische und symbolische Darstellung funktionaler Zusammenhänge
lineare Funktionen
direkte und indirekte Proportionalität
I3
Geometrische Figuren und KörperDas Erlernen grundlegender geometrischer Begriffe, einfacher Figuren und Körper und deren Eigenschaften und Darstellung (Zeichnung, Konstruktion) steht im Vordergrund.
Lehrstoff:
Punkt, Gerade, Ebene, Strecke, Winkel, Parallele, Normale
Symmetrie, Ähnlichkeit
Dreiecke, Vierecke, Kreis
Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel
Satz des Pythagoras
Umfangs-, Flächen-, Oberflächen- und Volumsformeln
I4
Statistische Darstellungen undKenngrößen
Statistische Daten sollen tabellarisch und grafisch dargestellt werden können.
Lehrstoff:
tabellarische Darstellung statistischer Daten
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Standards Mathematik – Allgemein 4
I4
Statistische Darstellungen undKenngrößen
Lehrstoff:
Stab-, Kreis-, Streifen-, Linien-, Streudiagramm, Piktogramm
absolute und relative Häufigkeiten
arithmetisches Mittel, Median, Quartile
Spannweite, Interquartilabstand
3. Komplexitätsbereiche
Mathematische Problemstellungen können einerseits lediglich die direkte Anwendung eines Begriffes erfordern (leicht), andererseits eine Kombination und Vernetzung mehrerer mathematischer Begriffe verlangen (schwierig). Die Anforderungen der Rechnungen umfassen drei Bereiche:
K1
Einsetzen von Grundkenntnissen u. –fertigkeiten (= GERINGE KOMPLEXITÄT)Darunter versteht man die Wiedergabe oder direkte Anwendung von grundlegenden mathematischen Begriffen, Sätzen, Verfahren und Darstellungen.
Mathematisches Wissen und Können ist direkt aus dem Text erkenn- und anwendbar. Aus diesem Grund erfordern die mathematischen Fertigkeiten bzw. Kenntnisse eine geringe Komplexität.
K2
Herstellen von Verbindungen (= MITTLERE KOMPLEXITÄT)Wenn mathematische Sachverhalte und deren Problemlösungen komplexer sind, müssen Verbindungen (Begriffe, Sätze,
Verfahren, Darstellungsformen) aus verschiedenen mathematischen Gebieten hergestellt werden.
K3
Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren (= HÖHERE KOMPLEXITÄT)Hier ist das Nachdenken über Zusammenhänge erforderlich, die nicht unmittelbar aus dem dargelegten mathematischen Sachverhalt ablesbar sind.
Dazu gehören z.B. Lösungswege und Alternativen, Vor- und Nachteile von Darstellungsformen, Grenzen von Modellen, Nachdenken über Interpretationen und Begründungen.
All diese Beispiele sollen durch Dokumentationen von Lösungs- wegen sichtbar gemacht werden.
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Komplexität
mathematischer Inhalt
mathematische Handlung
Kompetenz (H2, I1, K3)
Erläuterung mathematischer Kompetenzen
Mathematische Kompetenzen
(Modelldarstellung)
Sie beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten (= Handlungen), auf mathematische Inhalte und auf die Art der Komplexität (Grad der Vernetzung zu anderen Bereichen)
Beispiel: Eine Kompetenz ist die Fähigkeit zur Erklärung (Handlungsbereich = H) von mathematischen Darstellungen des Sachverhaltes (Inhaltsbereich = I), wobei mehrere Fakten und Zusammenhänge in Verbindung gebracht werden müssen (Komplexitätsbereich = K)
Handlungsbereich – H Inhaltsbereich – I
Komplexitätsbereich – K
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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 1
Lehrstoff
7. Schulstufe (= 3. Klasse) 1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen
Die Schüler sollen …
- rationale Zahlen in verschiedenen Formen deuten können (als Zustände gegenüber einem Nullpunkt/als Punkte auf einer Zahlengeraden).
- „Kleiner und Größer“ – Beziehungen erkennen und beschreiben.
- rationale Zahlen für Darstellungen in Koordinatensystemen verwenden können.
- die vier Grundrechnungsarten vermischen und derart entstehende Terme auch mit elektronischen Rechenhilfsmitteln berechnen können.
- Sicherheit im Kopfrechnen gewinnen.
- Potenzschreibweise kennen und anwenden können.
- Zahlen, vor allem in Sachsituationen, unter Verwendung von Zehnerpotenzen darstellen können.
2. Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten Die Schüler sollen …
- Formeln bzw. Terme umformen und durch Rechenregeln begründen können.
- mit einfachen Potenzen arbeiten.
- Formeln in Sachsituationen und in der Geometrie aufstellen können.
- Aufgaben aus Anwendungsbereichen und aus der Geometrie durch Umformungen von Formeln oder Termen lösen können.
- lineare Gleichungen mit einer Unbekannten lösen.
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Mathematik – Lehrstoff – Allgemein 2
3. Arbeiten mit Figuren und Körpern Die Schüler sollen …
- Figuren vergrößern und verkleinern.
- ähnliche Figuren erkennen und beschreiben.
- Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken begründen und damit Flächeninhalte berechnen können.
- Umkehraufgaben lösen können.
- Gegenstände, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben, zeichnerisch darstellen können.
- Oberfläche, Rauminhalt und Gewicht von Gegenständen, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben, berechnen können.
- den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren nutzen können.
4. Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Die Schüler sollen …
- lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse mit verschiedenen Annahmen unter Zuhilfenahme von elektronischen Rechenhilfsmitteln untersuchen können (z.B. Zinssätze).
- funktionale Abhängigkeiten erkennen und formelmäßig und graphisch darstellen.
- Datenmengen untersuchen und darstellen.
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Arbeitsaufgaben zum
Kompetenzbereich
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Übungsbeispiel 1
Titel: Zahlen-Wirrwarr
Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Ganze Zahlen Mathematische Kompetenzen
Aufgabe 1 Aufgabe 2
1. Arbeiten mit Zahlen und Maßen I1 I1
2. Darstellen und Modellbilden,
Operieren und Rechnen H2 H1/H2
3. Grundkenntnisse und -fertigkeiten K1 K1
Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
20 Minuten 10 Minuten 10 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:
a und c) mittel; b) niedriger Aufgabe 2:
a) niedriger; b) mittel
Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck
Besondere Bemerkungen:
Der Taschenrechner ist bei beiden Aufgaben nicht erlaubt.
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 1
Aufgabe 1:
a) Ordne der gegebenen Menge M die Elemente der Größe nach so zu, dass das größte Element ganz links steht!
1) M = { -12, 0, 2, -4, |-7|, 5, 14, -1 } 2) M = { 6, -1, |-17|, -13, 3, 12, |-8|, -5 }
Lösung:
1) M = 2) M =
b) Setze die Zeichen „<“, „=“ bzw. „>“ so ein, dass eine wahre Aussage entsteht!
|-23| 18 31 30
-11 |-11| |-1| |+1|
-19 -24 |-8| -6
10 |-10| -23 0
c) Gib jene Zahl an, die in der Mitte zwischen 1) -4 und +6
2) -14 und 0 liegt!
Lösung:
1)
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- 1 0 -3
-4 -2
-5
-6 1 2 3 4 5 6 7
-7
1)
- 1 0 -3
-4 -2
-5
-6 1 2 3 4 5 6 7
-7
2)
Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 2
Aufgabe 2:
a) Stelle die folgenden Rechnungen mithilfe der Pfeildarstellung grafisch dar!
1) (-7) – (-9) = __________________
2) (+5) – (+11) = __________________
Lösung:
b) Gib alle ganzen Zahlen an, für die die jeweilige Aussage wahr ist!
1)
|x| < 9
2)-1 ≤|m| < 5
3)0 < g ≤ 8 Lösung:
1) L = 2) L = 3) L =
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Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 1 – Lösung
Aufgabe 1:
a) Ordne der gegebenen Menge M die Elemente der Größe nach so zu, dass das größte Element ganz links steht!
1) M = { -12, 0, 2, -4, |-7|, 5, 14, -1 } 2) M = { 6, -1, |-17|, -13, 3, 12, |-8|, -5 }
Lösung:
1) M = { 14, |-7|, 5, 2, 0, -1, -4, -12 } 2) M = { |-17|, 12, |-8|, 6, 3, -1, -5, -13 }
b) Setze die Zeichen „<“, „=“ bzw. „>“ so ein, dass eine wahre Aussage entsteht!
|-23| > 18 31 > 30
-11 < |-11| |-1| = |+1|
-19 > -24 |-8| > -6
10 = |-10| -23 < 0
c) Gib jene Zahl an, die in der Mitte zwischen 1) -4 und +6
2) -14 und 0 liegt!
Lösung:
1) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – Die Zahl lautet 1.
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- 1 0
-3
-4 -2
-5
-6 1 2 3 4 5 6 7
-7
+ 9
1)
- 1 0
-3
-4 -2
-5
-6 1 2 3 4 5 6 7
-7
- 11
2)
Arbeiten mit Zahlen und Maßen – Zahlen-Wirrwarr – Arbeitsblatt 2 – Lösung
Aufgabe 2:
a) Stelle die folgenden Rechnungen mithilfe der Pfeildarstellung grafisch dar!
1) (-7) – (-9) = (-7) + 9 = 2 2) (+5) – (+11) = (+5) – 11 = -6
Lösung:
b) Gib alle ganzen Zahlen an, für die die jeweilige Aussage wahr ist!
1) |x| < 9
2) -1 ≤|m| < 5 3) 0 < g ≤ 8 Lösung:
1) L = { -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 2) L = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }
3) L = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Übungsbeispiel 6
Titel: Ähnlichkeiten
Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander Themenbereich: Strahlensatz Mathematische Kompetenzen
Aufgabe 1 Aufgabe 2 1. Arbeiten mit Figuren und Körpern I3 I3
2. Darstellen und Modellbilden, Operieren und Rechnen,
Argumentieren und Begründen
H1/H2 H1/H4
3. Grundkenntnisse und -fertigkeiten Herstellen von Verbindungen,
Einsetzen von Reflexionswissen
K1/K2 K2/K3
Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
40 Minuten 15 Minuten 25 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:
a) niedriger; b und c) mittel Aufgabe 2:
a und b) höher
Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Bleistift, Taschenrechner
Besondere Bemerkungen:
Bei Aufgabe 1 a) ist eine Abweichung von +/- 1 mm erlaubt!
Bei leistungsschwächeren SchülerInnen kann die schriftliche Erklärung bei Aufgabe 2 a) entfallen.
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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 1
Aufgabe 1:
a) Teile die Strecke XY (XY = 117 mm) im Verhältnis 2 : 7!
b) Bezeichne den Teilungspunkt der Strecke XY mit Z und gib das Verhältnis ZY : XY an!
c) Berechne die Längen der Strecken XZ und ZY! Vergleiche XZ und ZY mit deiner Zeichnung!
Mögliche Lösung a – Zeichnung)
Lösung b)
XY = _________ XZ = _________ ZY = _________
Lösung c)
Berechnung der Länge der Strecke XZ bzw. ZY:
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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 2
Aufgabe 2:
a) Konstruiere das Dreieck ABC aus folgenden Bestimmungsstücken:
a : c = 5 : 3, α = 120°, b = 60 mm (Beschreibe den Konstruktionsvorgang!) b) Was versteht man unter „ähnlichen Dreiecken“?
Lösung a)
Konstruktionsvorgang:
Lösung b)
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Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 1 – Lösung
Aufgabe 1:
a) Teile die Strecke XY (XY = 117 mm) im Verhältnis 2 : 7!
b) Bezeichne den Teilungspunkt der Strecke XY mit Z und gib das Verhältnis ZY : XY an!
c) Berechne die Längen der Strecken XZ und ZY! Vergleiche XZ und ZY mit deiner Zeichnung!
Mögliche Lösung a – Zeichnung)
Lösung b)
XY = 9 Teile, XZ = 2 Teile, ZY = 7 Teile
ZY : XY = 7 : 9
Lösung c) – Messung und Berechnung stimmen überein.
Berechnung der Länge der Strecke XZ bzw. ZY:
ZY : XY = 7 : 9 ZY =
9
7
∙
XY ZY =9
7
∙
117 = 91 mmXZ = XY – ZY XZ = 117 – 91 XZ = 26 mm
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A1= A C1
C
B1 B a1
c1
b a
α
Arbeiten mit Figuren und Körpern – Ähnlichkeiten – Arbeitsblatt 2 – Lösung
Aufgabe 2:
a) Konstruiere das Dreieck ABC aus folgenden Bestimmungsstücken:
a : c = 5 : 3, α = 120°, b = 60 mm (Beschreibe den Konstruktionsvorgang!) b) Was versteht man unter „ähnlichen Dreiecken“?
Lösung a)
Konstruktionsvorgang:
1. Die Gestalt des Dreiecks ist durch das Verhältnis a : c = 5 : 3 und durch den Winkel α = 120° eindeutig definiert. Konstruiere daher zuerst aus zwei Strecken a1 und c1, die im Verhältnis 5 : 3 stehen, und dem Winkel α = 120°
ein zum Dreieck ABC ähnliches Hilfsdreieck A1B1C1! Wähle zum Beispiel a1 = 5 cm und c1 = 3 cm!
2. Jetzt musst du das Hilfsdreieck durch eine Streckung auf die geforderte Größe bringen. Verlängere die Strecke A1C1 auf 60 mm! Du erhältst den Pkt. C.
3. Zeichne eine Parallele zu B1C1 durch den Punkt C! Diese Parallele schneidet die Verlängerung von c1. Du erhältst den Punkt B.
4. Zeichne das Dreieck ABC nach und beschrifte es!
Lösung b)
Dreiecke sind einander ähnlich, wenn einander entsprechende Winkel gleich
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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Übungsbeispiel 3
Titel: Olympische Spiele
Ersteller der Aufgabe: Roman Wielander
Themenbereich: Datenmengen untersuchen und darstellen Mathematische Kompetenzen
Aufgabe 1 Aufgabe 2 1. Statistische Darstellungen und
Kenngrößen I4 I4
2. Darstellen und Modellbilden, Operieren und Rechnen,
Interpretieren und Dokumentieren
H2/H3 H1/H2/H3
3. Herstellen von Verbindungen,
Einsetzen von Reflexionswissen K2/K3 K2/K3 Zeitbedarf: Gesamtarbeitszeit:
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
30 Minuten 15 Minuten 15 Minuten Komplexitätsstufen: Aufgabe 1:
a, b und c) niedriger; d) mittel Aufgabe 2:
höher
Arbeitsmaterialien: Füllfeder bzw. Kugelschreiber, Geodreieck, Bleistift, Taschenrechner, Farbstifte, eventuell Computer (Office)
Besondere Bemerkungen:
SchülerInnen der 1. LG können das Beispiel mithilfe des Computers lösen.
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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – Arbeitsblatt 1
Aufgabe 1:
Bei den Olympischen Spielen wurden die Teilnehmer vor den
Boxwettbewerben gewogen und anschließend in vier Gewichtsklassen eingeteilt.
Gewichtsklasse 1: 100 kg und mehr (Schwergewicht) Gewichtsklasse 2: 99 kg – 80 kg (Mittelgewicht) Gewichtsklasse 3: 79 kg – 60 kg (Leichtgewicht) Gewichtsklasse 4: 59 kg und weniger (Federgewicht) Folgende Daten in kg wurden notiert:
104, 48, 93, 61, 126, 58, 78, 83, 109, 115, 53, 49, 75, 121, 66, 91, 52, 114, 135, 87, 107, 51, 90, 89
Beantworte folgende Fragen!
a) Wie viele Sportler nahmen insgesamt am Turnier teil?
Antwort:
b) Welcher Boxer hatte das maximale Gewicht?
Antwort:
c) Berechne den Mittelwert!
Antwort:
Berechnung des Mittelwertes (Summe der Einzelwerte dividiert durch die Anzahl der Einzelwerte: x =
n x x
x1 2... n; x1, x2, ……xn = Einzelwerte;
n ….. Anzahl der Einzelwerte) Mittelwert: x =
d) Ergänze die Tabelle!
(Beachte: Strichliste, absolute und relative Häufigkeit, prozentuelle
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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – Arbeitsblatt 2
Aufgabe 1 (Fortsetzung):
Ergänze die Tabelle!
Gewichtsklasse Strichliste absolute H. relative H. prozentuelle H.
Schwergewicht Mittelgewicht Leichtgewicht Federgewicht
Aufgabe 2:
Stelle die prozentuelle Häufigkeit der Gewichtsklassen in einem Streifen- diagramm dar! Streifen: Schwergewicht – orange, Mittelgewicht – blau, Leichtgewicht – gelb, Federgewicht – rot Überschrift: Gewichtsklassen
x-Achse – Gewichtsklassen y-Achse – Einheit Prozent
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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – Arbeitsblatt 1 – Lösung
Aufgabe 1:
Bei den Olympischen Spielen wurden die Teilnehmer vor den
Boxwettbewerben gewogen und anschließend in vier Gewichtsklassen eingeteilt.
Gewichtsklasse 1: 100 kg und mehr (Schwergewicht) Gewichtsklasse 2: 99 kg – 80 kg (Mittelgewicht) Gewichtsklasse 3: 79 kg – 60 kg (Leichtgewicht) Gewichtsklasse 4: 59 kg und weniger (Federgewicht) Folgende Daten in kg wurden notiert:
104, 48, 93, 61, 126, 58, 78, 83, 109, 115, 53, 49, 75, 121, 66, 91, 52, 114, 135, 87, 107, 51, 90, 89
Beantworte folgende Fragen!
a) Wie viele Sportler nahmen insgesamt am Turnier teil?
Antwort: 24
b) Welcher Boxer hatte das maximale Gewicht?
Antwort: Der Boxer mit 135 kg hatte das maximale Gewicht.
c) Berechne den Mittelwert!
Antwort: Der Mittelwert beträgt 85,625 kg.
Berechnung des Mittelwertes (Summe der Einzelwerte dividiert durch die Anzahl der Einzelwerte: x =
n x x
x1 2... n; x1, x2, ……xn = Einzelwerte;
n ….. Anzahl der Einzelwerte)
Mittelwert: x = 2055 : 24 = 85,625 kg d) Ergänze die Tabelle!
(Beachte: Strichliste, absolute und relative Häufigkeit, prozentuelle
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Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen – Olympische Spiele – AB 2 – Lösung
Aufgabe 1 (Fortsetzung):
Ergänze die Tabelle!
Gewichtsklasse Strichliste absolute H. relative H. prozentuelle H.
Schwergewicht
IIII III
8 0,33 33%Mittelgewicht
IIII I
6 0,25 25%Leichtgewicht
IIII
4 0,17 17%Federgewicht
IIII I
6 0,25 25%Aufgabe 2:
Stelle die prozentuelle Häufigkeit der Gewichtsklassen in einem Streifen- diagramm dar! Streifen: Schwergewicht – orange, Mittelgewicht – blau, Leichtgewicht – gelb, Federgewicht – rot Überschrift: Gewichtsklassen
Gewichtsklassen
25%
17%
25%
33%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Schw ergew icht Mittelgew icht Leichtgew icht Federgew icht