5.2 statistische Modellierung
5.2.2 Einfluss der Texturparameter - Mehrparameter-Modellierung
Residual standard error Multiple R-squared
low 0.71 0.70
mid 0.44 0.78
high 0.82 0.53
Tabelle 32: Ergebnisse der linearen Regressionsmodelle
Bestimmtheitsmaß
Häufigkeitsverteilung
2 4 6 8 10
0.2 0.4 0.6 0.8
Frequenz hmax.nneigh
nneigh.grad_x dmax.hmin gk.grad_x nmax_rel.hmax nmax_rel.grad hmin.mpd nmin.nneigh hmin.gk hmin.grad_x nmax_rel.mpd nmax_rel.dmax nmax_rel.hmin nmin.g g.nneigh nmax_rel.g g.gk nmax_rel.grad_y nmax_rel.grad_x
50 100 150 200
Bestimmtheitsmaß
Häufigkeitsverteilung
1 2 3 4 5
0.2 0.4 0.6 0.8
Frequenz mpd.gk
nmax_rel.grad_y nmin.dmin nneigh.grad hmax.nmin dmax.mpd nmax_rel.hmax dmax.gk nmax_rel.gk nmin.gk g.nneigh hmax.nneigh nmax_rel.dmax nmax_rel.mpd nneigh.gk nmin.nneigh dmax.nneigh mpd.nneigh nmax_rel.nneigh
50 100 150 200 250 300
Bestimmtheitsmaß
Häufigkeitsverteilung
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.2 0.4 0.6 0.8
Frequenz nmax_rel.g
hmin.gk g.nneigh nmax_rel.dmax nmax_rel.mpd g.gk hmax.mpd nmin.g nmin.mpd nmax_rel.hmin hmin.nneigh hmax.nmin mpd.gk hmax.dmax dmax.gk hmax.hmin hmax.gk hmax.nneigh nmax_rel.hmax
50 100 150 200 250
Abbildung 55: H ¨aufigkeitsverteilung der Kerndichteverteilung des Bestimmtheitsmaßes (links) und H ¨aufigkeit der Parameterverteilung (rechts) f ¨ur eine zweidimensionale lineare Modellierung; die ver-schiedenen Rollger ¨auschanteile sind von oben nach unten tief-, mittel- und hochfrequent angeordnet.
Standardfehler von 0,49 weist der p-Wert des Modells den Textur-Gradienten in Fahrtrichtung als relevantesten Eingangsparameter aus. Ein hoher Wert des Gradienten f ¨uhrt hierbei zu einem Anstieg in den tieffrequenten Rollger ¨auschanteilen. Der nach dem p-Wert geordnet zweite relevante Wert der Regressionsanalyse ist der Interaktionsterm zwischen den Parametern
”nmax rel“ und
”grad x“. Das negative Vorzeichen bedeutet in diesen Fall, dass ein hoher Wert des Produktes der beiden Parameter zu einer Verringerung der modellierten tieffrequenten Rollger ¨auschemissionen f ¨uhrt. Im Sinne eines m ¨oglichst geringen Textur-Gradienten f ¨uhrt dies zur Forderung einer gleichzeitig m ¨oglichst hohen Anzahl lokaler Maxima, selbst wenn der dritte, am wenigsten signifikante Term der Anzahl lokaler Maxima dem wieder leicht entgegenwirkt.
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 79.553 2.854 27.87 <2e-16
nmax rel 0.001 0.000 1.96 5.56e-02
grad x 35.842 6.859 5.23 3.40e-06
nmax rel:grad x -0.003 0.001 -3.98 2.21e-04
Tabelle 33: Ergebnisse des zweidimensionalen interagierenden linearen Regressionsmodells - tieffre-quenter Rollger ¨auschbereich
Die Zusammenh ¨ange aus dem Modell lassen sich f ¨ur zwei erkl ¨arende Parameter auch visualisieren.
In Abbildung 56 sind die Einflussfaktoren des Modells gegen den tieffrequenten Rollger ¨auschanteil aufgetragen. Die linke Seite der Abbildung zeigt dabei das bisher beschriebene lineare 2-Parameter-Modell, auf der rechten Seite wird das Modell eines nichtlinearen Random-Forest-Regression-Ansatzes gezeigt. Man sieht, dass sich durch die Zulassung von Nichtlinearit ¨aten nur eine geringe Anderung in der grundlegenden Modellform ergibt. In den wesentlichen Bereichen, die innerhalb¨ des Ursprungs-Datensatzes liegen, kommt es nur zu geringen Abweichungen in den Ergebnissen der beiden Modellans ¨atze. Lediglich bei hohen Textur-Gradienten und geringen Anzahlen lokaler Maxima divergieren die beiden Modelle deutlich. Dabei ist zu beachten, dass in diesen Parame-terbereichen keine oder nur wenige St ¨utzdaten vorhanden sind, wie aus der zweidimensionalen Kerndichteverteilung der Modell-Eingangsparameter hervorgeht (siehe Abbildung 57).
Reevaluiert man nun das lineare 2-Parameter-Modell, d.h. tr ¨agt man die Messwerte gegen die aus dem Modell r ¨uckgerechneten Vorhersagen auf, erh ¨alt man den Zusammenhang von Abbildung 581. Man erkennt augenscheinlich einen guten Zusammenhang der Mess- und Vorhersagewerte, wobei die beiden betrachteten Deckschichttypen
”SMA S1“ und
”SMA S3“ in den extremeren Werten trennen.
1Aufgrund der beschr ¨ankten Gr ¨oße des Datensatzes wird diese Reevaluierung auf dem Trainingsdatensatz durchgef ¨uhrt.
Durch die Einschr ¨ankung auf ein lineares 2-Parametermodell ist die Gefahr eines Overfittings jedoch gering.
86 88 90 92 94 96
8000 9000 10000 11000 12000
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
nmax_rel
grad_x
(a) lineare 2-Parameter-Modellierung
86 88 90 92 94 96
8000 9000 10000 11000 12000
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
nmax_rel
grad_x
(b) Random Forest Regression
Abbildung 56: Zusammenhang zwischen dem Textur-Gradienten, der Anzahl lokaler Maxima und dem (durch die Farbkodierung dargestellten) tieffrequenten Rollger ¨ausch
8000 9000 10000 11000 12000
0.30.40.50.60.70.8
nmax_rel
grad_x
(a) SMA S1
8000 9000 10000 11000 12000
0.30.40.50.60.70.8
nmax_rel
grad_x
(b) SMA S3
Abbildung 57: H ¨aufigkeitsverteilung der tieffrequenten Modell-Einflussfaktoren f ¨ur SMA S1 und SMA S3.
Vorhersage
Messwert
86 88 90 92
87 88 89 90 91 92
SMA_S1 SMA_S3
Abbildung 58: Reevaluierung des zweidimensionalen linearen Modells - tieffrequenter Roll-ger ¨auschbereich
Hier ist zu schlussfolgern, dass der voraussichtlich dichtere
”SMA S1“ geringere Textur-Gradienten aufweist, die direkt das tieffrequente Rollger ¨ausch l ¨armmindernd beeinflussen. Dies ist auch in Abbildung 57, die die zweidimensionale Kerndichteverteilung des Textur-Gradienten und der Anzahl lokaler Maxima f ¨ur die beiden Fahrbahndeckschichttypen zeigt, direkt zu sehen.
Mittelfrequentes Rollger ¨ausch
Der mittlere Frequenzbereich umfasst die Terzb ¨ander von 1000 und 1250 Hz. Die H ¨aufigkeitsverteilung der Bootstrapping-Durchl ¨aufe in Abbildung 55 zeigt ¨ahnlich zum tieffrequenten Bereich ein durchg ¨angig ausreichend hohes Bestimmtheitsmaß f ¨ur die nichtlineare 2-Parameter-Modellierung.
Ebenfalls wieder als relevanter Einflussfaktor wird die Anzahl der lokalen Maxima
”nmax rel“ identifi-ziert, wobei als zweiter Parameter die dazu ¨ahnliche N ¨achster-Nachbar-Distanz
”nneigh“ ausgew ¨ahlt wird. Diese tritt in den ersten vier Parameters ¨atzen jeweils auf und ber ¨ucksichtigt im Gegensatz zur absoluten Anzahl der lokalen Maxima auch deren relative Anordnung. Beide Parameter sind in der Hauptkomponentenanalyse gemeinsam in der zweiten Hauptkomponente abgebildet, erst mit der mittleren Profiltiefe
”mpd“ bzw. H ¨ohenverteilung der lokalen Maxima
”dmax“ treten Parameter der ersten Hauptkomponente in der Parameterverteilung auf.
Die Auswertung des Modells liefert nun die in Tabelle 34 gegebenen Koeffizienten, das Bestimmtheits-maß ist mit ¨uber 0.8 und der Standardfehler mit 0.39 f ¨ur die weiteren ¨Ubelegungen als hinreichend zu betrachten. Als Parameter mit der h ¨ochsten Signifikanz zeigt sich die Anzahl lokaler Maxima, die bei hohen Werten das mittelfrequente Rollger ¨ausch mindert. Des weiteren sollte der Interaktionsterm ber ¨ucksichtigt werden. Geringe mittlere Abst ¨ande zwischen den lokalen Maxima f ¨uhren demnach bei konstant gehaltener hoher Anzahl dieser zu einer Reduktion des mittelfrequenten Rollger ¨ausches.
Eine bildliche Interpretation dieses Zusammenhangs gestaltet sich allerdings als schwierig, da eine Vielzahl an unterschiedlichen Einflussfaktoren das Ergebnis der N ¨achster-Nachbar-Distanz beeinflus-sen k ¨onnen. Dies umfasst sowohl z.B. Randeffekte wie auch m ¨ogliche Unterschiede zwischen der Mittelwert- und beispielsweise der Median-Bildung zur Berechung eines repr ¨asentativen mittleren Wertes des Parameters innerhalb des einzelnen 3D-Texturpatches. Betrachtet man wieder die zweidi-mensionale Kerndichteverteilung der beiden Parameter (Abbildung 59), sieht man augenscheinlich (und wenig ¨uberraschend) eine hohe Korrelation zwischen der Anzahl lokaler Maxima und der mittle-ren Distanz zwischen diesen. Es stellt sich die Frage, ob die Variationsbreite der Parameter gen ¨ugt, um mit ausreichender Sicherheit vern ¨unftige Aussagen ¨uber das interagierende Zusammenspiel mit dem mittelfrequenten Rollger ¨ausch zu treffen.
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 88.349 9.018 9.80 3.19e-13
nneigh -484.746 920.959 -0.53 6.01e-01 nmax rel -0.002 0.001 -3.71 5.21e-04 nneigh:nmax rel 0.455 0.124 3.66 6.01e-04
Tabelle 34: Ergebnisse des zweidimensionalen interagierenden linearen Regressionsmodells - mittel-frequenter Rollger ¨auschbereich
Bei diesen ¨Uberlegungen sollte bedacht werden, dass auch das lineare 1-Parameter-Modell, das lediglich auf der Anzahl lokaler Maxima im Texturpatch beruht, bereits ein Bestimmtheitsmaß von 0,77 bei einem Standardfehler von 0,44 aufweist. Vergleichbare Bewertungsmaße ergeben sich unter Ber ¨ucksichtigung der N ¨achster-Nachbar-Distanz. In den beiden F ¨allen f ¨uhrt eine hohe Anzahl lokaler Maxima bzw. geringe N ¨achster-Nachbar-Distanz zu einem reduzierten mittelfrequenten Rollger ¨ausch.
Das Modell-Ergebnis ist dazu in Tabelle 35 gegeben.
Die Reevaluierung des linearen 1-Parameter-Modells auf Basis der Anzahl lokaler Maxima
”nmax rel“
ist in Abbildung 60 abgebildet. Die Vorhersage ist wie auch aus Tabelle 35 f ¨ur den Vorhersagepara-meter ersichtlich gut. Die Trennung der beiden Deckschichttypen
”SMA S1“ und
”SMA S3“, die im tieffrequenten Rollger ¨ausch deutlich zu sehen war, tritt hier nicht mehr in diesem Ausmaß auf.
8000 9000 10000 11000 12000
0.00600.00650.00700.0075
nmax_rel
nneigh
(a) SMA S1
8000 9000 10000 11000 12000
0.00600.00650.00700.0075
nmax_rel
nneigh
(b) SMA S3
Abbildung 59: H ¨aufigkeitsverteilung der mittelfrequenten Modell-Einflussfaktoren f ¨ur SMA S1 und SMA S3.
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 99.913 0.555 179.98 <2e-16
nmax rel -7.95e-04 6.01e-05 -13.23 <2e-16
Tabelle 35: Ergebnisse des eindimensionalen linearen Regressionsmodells - mittelfrequenter Roll-ger ¨auschbereich
Vorhersage
Messwert
90 91 92 93 94
90 91 92 93 94
SMA_S1 SMA_S3
Abbildung 60: Reevaluierung des eindimensionalen linearen Modells - mittelfrequenter Roll-ger ¨auschbereich
Hochfrequentes Rollger ¨ausch
Im Bereich ab 1600 Hz zeigt sich in Abbildung 55 eine merklich breitere Verteilung der Einzel-Bestimmtheitsmaße der Modellbildung. Der h ¨aufigste Wert des Kerndichtesch ¨atzers liegt im Ge-gensatz zu den anderen Frequenzbereichen unter 0.8, teilweise werden im Bootstrapping lediglich Bestimmtheitsmaße von unter 0.5 erreicht. Als h ¨aufigste Parameterkombination treten die bereits in den tiefen und mittleren Frequenzbereichen wirksame Anzahl lokaler Maxima sowie der Parameter
”hmax“ auf, der die mittlere H ¨ohe der lokalen Maxima relativ zur mittleren Profilh ¨ohe beschreibt.
Dieser tritt auch in den ersten vier Parameterkombinationen auf.
Stellt man nun auf Basis dieser erkl ¨arenden Parameter das Modell f ¨ur das hochfrequente Roll-ger ¨ausch auf, erh ¨alt man die in Tabelle 36 gezeigten Modellergebnisse. Das Bestimmtheitsmaß sinkt im Vergleich zu den bisherigen Modellierungen auf einen Wert von ca. 0,67 bei einem Standardfehler von 0,70. Die p-Werte f ¨ur die einzelnen Modellparameter weisen ebenfalls geringe Werte auf, was den Zusammenhang der Parameter mit dem hochfrequenten Rollger ¨ausch in Frage stellt.
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 91.211 2.772 32.91 <2e-16 nmax rel 2.12e-04 2.88e-04 0.74 4.64e-01 hmax 5156.896 4454.621 1.16 2.53e-01 nmax rel:hmax -1.05e+00 0.472 -2.22 3.11e-02
Tabelle 36: Ergebnisse des zweidimensionalen interagierenden linearen Regressionsmodells - hoch-frequenter Rollger ¨auschbereich
Lediglich das Zusammenspiel der beiden Parameter erweist sich als signifikant, ein hohes Produkt der beiden Werte f ¨uhrt demnach zu einer hochfrequenten L ¨armminderung. Dazu ist in Abbildung 61 das Zusammenspiel der Parameter visualisiert. Links wird die Auswertung des linearen 2-Parameter-Modells, rechts die Auswertung eines Random-Forest-Regression-Ansatzes gezeigt. Die damit in Zusammenhang stehende Kerndichteverteilung der Eingangsparameter ist in Abbildung 62 abgebildet.
Die Parameter sind augenscheinlich voneinander unabh ¨angig, was sich bereits aus der Hauptkompo-nentenanalyse lesen l ¨asst. W ¨ahrend die Anzahl lokaler Maxima in einem ¨ahnlichen Wertebereich liegt, zeigt sich f ¨ur den SMA S3 hier eine deutlichere H ¨ohenstruktur der Fahrbahndeckschicht, die gerade in diesem Bereich in der Random-Forest-Regression einen niedrigen hochfrequenten Roll-ger ¨auschpegel ergibt.
Reevaluiert man das Modell, erh ¨alt man den Zusammenhang von Abbildung 63. Hin zu niedrigen Pegelwerten ist dabei eine Auftrennung der beiden Deckschichttypen zu sehen. Hier stellt sich die
86 88 90 92 94 96
8000 9000 10000 11000 12000
4e−04 6e−04 8e−04 1e−03
nmax_rel
hmax
(a) lineare 2-Parameter-Modellierung
86 88 90 92 94 96
8000 9000 10000 11000 12000
4e−04 6e−04 8e−04 1e−03
nmax_rel
hmax
(b) Random Forest Regression
Abbildung 61: Zusammenhang zwischen der Anzahl lokaler Maxima, deren H ¨ohenverteilung und dem (durch die Farbkodierung dargestellten) hochfrequenten Rollger ¨ausch
Frage, ob eine gemeinsame Modellierung ¨uber die Deckschichttypen hinweg mit den aktuell zur Verf ¨ugung stehenden erkl ¨arenden Parametern m ¨oglich ist. Das bautechnische Hauptunterschei-dungskriterium von SMA S1 und SMA S3 liegt im Hohlraumgehalt der Fahrbahndecke, die sich ¨uber die Texturmessung nicht direkt abbilden l ¨asst. Lediglich Parameter, die die sichtbare Tiefenstruktur der Deckschicht abbilden (wie beispielsweise die mittlere H ¨ohe der lokalen Maxima bzw. die mittlere Profiltiefe) lassen in gewissem Ausmaß R ¨uckschl ¨usse auf den vermuteten Hohlraumgehalt bzw. die Zug ¨anglichkeit zu der akustisch gesuchten Porenstruktur zu.
Aus diesem Grund wird hier abschließend noch ein lineares 3-Parameter-Modell, das als weiteren faktoriellen Parameter den Deckschichttyp miteinbezieht, vorgestellt. Auf Interaktionsterme wird in die-sem Fall aus Gr ¨unden der Gefahr der ¨Uberanpassung und zu Gunsten der ¨Ubersichtlichkeit verzichtet.
Das Ergebnis dieser Modellierung ist in Tabelle 37 gegeben, es ergibt sich ein Bestimmtheitsmaß von 0,64 und ein Standardfehler von 0,73. Sowohl die mittlere H ¨ohe der lokalen Maxima als auch deren Anzahl f ¨uhren zu einer Reduktion im hochfrequenten Rollger ¨ausch, der faktorielle Wert des Deckschichttyps fordert mit vernachl ¨assigbarer Signifikanz eine Pegelerh ¨ohung von 0.2 dB im Falle des Deckschichttyps SMA S3. W ¨ahrend die grunds ¨atzlichen Tendenzen aus den Parametern als relevant angenommen werden k ¨onnen, fehlt hier f ¨ur eine genauere Vorhersage ein belastbarer Textur-bzw. Fahrbahndecken-Parameter, der die beobachtete Unterscheidung der beiden Deckschichttypen abbildet.
8000 9000 10000 11000 12000
4e−046e−048e−041e−03
nmax_rel
hmax
(a) SMA S1
8000 9000 10000 11000 12000
4e−046e−048e−041e−03
nmax_rel
hmax
(b) SMA S3
Abbildung 62: H ¨aufigkeitsverteilung der hochfrequenten Modell-Einflussfaktoren f ¨ur SMA S1 und SMA S3.
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 96.879 1.072 90.40 <2e-16
nmax rel -3.78e-04 1.02e-04 -3.72 5.12e-04 hmax -4.93e+03 584.106 -8.44 3.53e-11
s1mSMA S3 0.215 0.240 0.89 3.76e-01
Tabelle 37: Ergebnisse des dreidimensionalen interagierenden linearen Regressionsmodells - hoch-frequenter Rollger ¨auschbereich
Vorhersage
Messwert
88 90 92
88 89 90 91 92
SMA_S1 SMA_S3
Abbildung 63: Reevaluierung des zweidimensionalen linearen Modells - hochfrequenter Roll-ger ¨auschbereich